Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 3: Definice derivace- Definice derivace jako limita funkce
- Formální a alternativní tvar derivace
- Příklad: derivace jako limita funkce
- Příklad: zjištění derivace z limity funkce
- Derivace jako limita
- Derivace x² v bodě x=3 pomocí formální definice
- Derivace x² v libovolném bodě za pomoci formální definice
- Najdi rovnici tečny za pomoci formální definice derivace
- Tvar limity pro nalezení derivace funkce (graficky)
Příklad: derivace jako limita funkce
Už dost abstraktních věcí, podívejme se jak formální a alternativní tvar derivace vypadají v praxi. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Mějme funkci f(x), která se
rovná přirozenému logaritmu. Naším úkolem je zjistit, čemu se rovná
směrnice tečny pro x rovno číslu e. V tomto bodě
se x rovná e. Bod [e;1] je
zde na křivce. Funkční hodnota
v bodě e je 1. Přirozený logaritmus e je 1. Zde jsem nakreslil
tečnu funkce. Náš úkol je najít její směrnici,
nebo ji alespoň vyjádřit pomocí výrazu. Nyní získáme její výraz pomocí
formální a alternativní definice. Díky tomu si je
budeme moci porovnat. Nejprve se budeme
věnovat formální definici. Formální definice nám pomůže
najít derivaci ve tvaru funkce. Řekněme, že toto
je libovolné x. Toto by byl bod [x;f(x)] A toto je
například x plus h. Tím pádem tato
vzdálenost je h. Zde máme
bod [x+h;f(x+h)] Formální definice je založena na určení
směrnice sečny mezi těmito dvěma body, a poté využití limity
pro h blížící se k 0. Čím víc se h blíží k 0, tím víc se
tento modrý bod bude blížit k x. Tento bod se k němu
bude blížit na křivce. Sečna se poté bude stávat stále
lepším vyjádřením tečny v bodě x. Pojďme si to vyzkoušet. Jaká je směrnice sečny? Je to změna na svislé ose,
která bude f(x+h) minus f(x), lomeno změna na
horizontální ose. To je x plus h minus x,
x odečteme, tedy jen h. Z této funkce uděláme limitu
pro h blížící se k 0. V tomto případě,
kdy f(x) je ln(x), to bude limita pro h blížící se k 0
ln(x+h) minus ln(x) lomeno h. Tedy pro naši konkrétní funkci
se to rovná první derivaci této funkce. Nyní pokud chceme vyjádřit
hodnotu funkce pro x rovno e, tak všude, kde vidíme x,
dosadíme e. Je to pouze vyjádření naší
derivace jako funkce f(x). Je to trochu
složitější funkce f(x). Máme zde limity
a to ostatní. Všude kde vidíme x,
můžeme napsat e. Nyní to zapíšu. Ouha, ztratila
se mi obrazovka. Už je zpět. Můžeme tedy napsat,
že první derivace f(e) je rovna: limita pro h blížící se k nule
přirozeného logaritmu. Nakreslím to stejnou barvou
aby to bylo přehledné. Přirozený logaritmus e plus h
minus přirozený logaritmus e lomeno h. Pokud vypočítáme tuto limitu,
zjistíme směrnici tečny pro x rovno e. Takto funguje
formální definice. Nyní k alternativní definici. Alternativní definice je, když
nechceme najít přesnou funkci derivace, ale chceme najít pouze
směrnici v určitém bodě. Alternativní definice nás dovede
přímo k tomuto bodu. Představme si tedy zde
nějakou další hodnotu x. Zde máme bod [x;ln(x)]. Jaká je směrnice sečny
mezi těmito dvěma body? Bude to změna v
hodnotách y. Takže to bude
ln(x) minus 1… toto vyznačím
červenou barvou …lomeno rozdílem x. To je x minus e. Toto je tedy směrnice sečny
mezi těmito dvěma body. Co když ale
chceme zjistit tečnu? Musíme si napsat
limitu pro x blížící se k e. Jak se x bude stále více přibližovat k e,
tyto body se budou stále blížit k sobě, bude sečna stále
lépe vyjadřovat tečnu. Takže pouze uděláme
limitu x blížící se k e. Takže máme dva přístupy. Zde využíváme
formální definice limity. Pro upřesnění, to h
k této limitě nenáleží. Takže můžeme využít buď formální definice
nebo alternativní definice derivace.