Příklad: derivace jako limita funkce

Mějme funkci f(x), která se rovná přirozenému logaritmu. Naším úkolem je zjistit, čemu se rovná směrnice tečny pro x rovno číslu e. V tomto bodě se x rovná e. Bod [e;1] je zde na křivce. Funkční hodnota v bodě e je 1. Přirozený logaritmus e je 1. Zde jsem nakreslil tečnu funkce. Náš úkol je najít její směrnici, nebo ji alespoň vyjádřit pomocí výrazu. Nyní získáme její výraz pomocí formální a alternativní definice. Díky tomu si je budeme moci porovnat. Nejprve se budeme věnovat formální definici. Formální definice nám pomůže najít derivaci ve tvaru funkce. Řekněme, že toto je libovolné x. Toto by byl bod [x;f(x)] A toto je například x plus h. Tím pádem tato vzdálenost je h. Zde máme bod [x+h;f(x+h)] Formální definice je založena na určení směrnice sečny mezi těmito dvěma body, a poté využití limity pro h blížící se k 0. Čím víc se h blíží k 0, tím víc se tento modrý bod bude blížit k x. Tento bod se k němu bude blížit na křivce. Sečna se poté bude stávat stále lepším vyjádřením tečny v bodě x. Pojďme si to vyzkoušet. Jaká je směrnice sečny? Je to změna na svislé ose, která bude f(x+h) minus f(x), lomeno změna na horizontální ose. To je x plus h minus x, x odečteme, tedy jen h. Z této funkce uděláme limitu pro h blížící se k 0. V tomto případě, kdy f(x) je ln(x), to bude limita pro h blížící se k 0 ln(x+h) minus ln(x) lomeno h. Tedy pro naši konkrétní funkci se to rovná první derivaci této funkce. Nyní pokud chceme vyjádřit hodnotu funkce pro x rovno e, tak všude, kde vidíme x, dosadíme e. Je to pouze vyjádření naší derivace jako funkce f(x). Je to trochu složitější funkce f(x). Máme zde limity a to ostatní. Všude kde vidíme x, můžeme napsat e. Nyní to zapíšu. Ouha, ztratila se mi obrazovka. Už je zpět. Můžeme tedy napsat, že první derivace f(e) je rovna: limita pro h blížící se k nule přirozeného logaritmu. Nakreslím to stejnou barvou aby to bylo přehledné. Přirozený logaritmus e plus h minus přirozený logaritmus e lomeno h. Pokud vypočítáme tuto limitu, zjistíme směrnici tečny pro x rovno e. Takto funguje formální definice. Nyní k alternativní definici. Alternativní definice je, když nechceme najít přesnou funkci derivace, ale chceme najít pouze směrnici v určitém bodě. Alternativní definice nás dovede přímo k tomuto bodu. Představme si tedy zde nějakou další hodnotu x. Zde máme bod [x;ln(x)]. Jaká je směrnice sečny mezi těmito dvěma body? Bude to změna v hodnotách y. Takže to bude ln(x) minus 1… toto vyznačím červenou barvou …lomeno rozdílem x. To je x minus e. Toto je tedy směrnice sečny mezi těmito dvěma body. Co když ale chceme zjistit tečnu? Musíme si napsat limitu pro x blížící se k e. Jak se x bude stále více přibližovat k e, tyto body se budou stále blížit k sobě, bude sečna stále lépe vyjadřovat tečnu. Takže pouze uděláme limitu x blížící se k e. Takže máme dva přístupy. Zde využíváme formální definice limity. Pro upřesnění, to h k této limitě nenáleží. Takže můžeme využít buď formální definice nebo alternativní definice derivace.