Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 3: Definice derivace- Definice derivace jako limita funkce
- Formální a alternativní tvar derivace
- Příklad: derivace jako limita funkce
- Příklad: zjištění derivace z limity funkce
- Derivace jako limita
- Derivace x² v bodě x=3 pomocí formální definice
- Derivace x² v libovolném bodě za pomoci formální definice
- Najdi rovnici tečny za pomoci formální definice derivace
- Tvar limity pro nalezení derivace funkce (graficky)
Příklad: zjištění derivace z limity funkce
Nalezneme derivaci funkce f(x)=x³ v bodě x=5 pomocí limity. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Alternativní definice derivace funkce f
v bodě ‚a‘, značená f s čárkou v bodě ‚a‘, je dána
tímto vzorcem. Tohle možná vypadá trochu podivně,
ale když se nad tím pořádně zamyslíme, tak jde jen o směrnici
tečny v bodě [a;f(a)]. Nakresleme si nějakou
libovolnou funkci. Vypadá třeba takto,
pojmenuji ji funkce f. Tady na ose x máme
bod x rovná se ‚a‘, takže tohle
bude bod [a;f(a)]. Pak můžeme vzít směrnici přímky mezi tímto
bodem a libovolným jiným, nazvěme ho x. Toto bude
bod [x;f(x)]. Všimněte si, že čitatel je pouze
změna funkční hodnoty. Nebo se na to můžeme dívat jako
na změnu hodnoty na svislé ose. Jde o tuto vzdálenost,
tu představuje náš čitatel. Ve jmenovateli pak máme
změnu hodnoty na vodorovné ose. Udělám to
jinou barvou. Změna na vodorovné
ose je tohle. A z toho chceme určit
limitu pro x blížící se k ‚a‘. Jak se x čím dál tím víc
blíží k ‚a‘, tak… Když je x tady, můžeme
udělat tuto sečnu. Chceme najít
směrnici této sečny. Ale jak je x čím dál blíž, tak se
sečna čím dál tím víc podobá tečně. Limita pro x blížící se k ‚a‘,
ale ne rovno ‚a‘, bude… Tohle je vlastně
naše definice derivace. Neboli alternativní
definice derivace. A je to také směrnice tečny,
pokud tečna existuje. Když už je tohle jasné,
zkusme teď zodpovědět na otázku. Pomocí alternativní definice derivace
vysvětlete následující limitu tak, že zjistíte, co je funkce f
a co je bod ‚a‘. Tady chtějí najít
směrnici tečny v bodě 5, zatímco zde chtěli najít
směrnici tečny v bodě ‚a‘, takže je docela zřejmé,
že ‚a‘ je rovno 5 a že f v bodě ‚a‘
je rovno 125. Čemu je rovno f(x)? Tady je limita z
f(x) minus f(a) a toto je limita z výrazu
x na třetí minus 125. A to dává smysl. Pokud je f(x) rovno x na třetí,
pak dává smysl, že f(5) je 5 na třetí, což je 125. Zde máme limitu
pro x blížící se k ‚a‘ a tady je limita
pro x blížící se k 5. Toto je tedy derivace funkce
f(x) rovná se x na třetí. Napíšu to zeleně. x na třetí a
bod ‚a‘ se rovná 5. Můžeme si to i
představit. Pro představu si
to nakreslíme. Udělám to tady, kde
budou barvy lépe vidět. Toto je y-ová osa. Tohle je x-ová osa. Asi to nebude nakreslené
úplně v měřítku. Tady bude 125, tedy bod
y rovná se 125. Zde bude bod x rovno 5, takže
to opravdu nemám ve stejném měřítku. Daná funkce bude
vypadat nějak takto. Víme, jak funkce x na
třetí vypadá, vypadá nějak takto. Naše ‚a‘ je rovno 5. Tady je
bod [5;125]. A my máme směrnici přímky
mezi tímto bodem a libovolným bodem x. Spíš bych měl říct libovolným
bodem na této křivce. Třeba tento bod,
to bude náš bod [x;x na třetí]. Víme, že f(x) je
rovno x na třetí. Ujasním to. Toto je graf funkce
y rovná se x na třetí. Celý tento výraz je směrnice
přímky mezi těmito dvěma body. Když hledáme limitu
pro x blížící se k 5... Tohle je
teď naše x. Jak se x čím dál
tím víc blíží k 5, sečna bude lepší a lepší
aproximací tečny v bodě x rovno 5. Směrnice tečny by tedy
vypadala nějak takto.