Příklad: zjištění derivace z limity funkce

Alternativní definice derivace funkce f v bodě ‚a‘, značená f s čárkou v bodě ‚a‘, je dána tímto vzorcem. Tohle možná vypadá trochu podivně, ale když se nad tím pořádně zamyslíme, tak jde jen o směrnici tečny v bodě [a;f(a)]. Nakresleme si nějakou libovolnou funkci. Vypadá třeba takto, pojmenuji ji funkce f. Tady na ose x máme bod x rovná se ‚a‘, takže tohle bude bod [a;f(a)]. Pak můžeme vzít směrnici přímky mezi tímto bodem a libovolným jiným, nazvěme ho x. Toto bude bod [x;f(x)]. Všimněte si, že čitatel je pouze změna funkční hodnoty. Nebo se na to můžeme dívat jako na změnu hodnoty na svislé ose. Jde o tuto vzdálenost, tu představuje náš čitatel. Ve jmenovateli pak máme změnu hodnoty na vodorovné ose. Udělám to jinou barvou. Změna na vodorovné ose je tohle. A z toho chceme určit limitu pro x blížící se k ‚a‘. Jak se x čím dál tím víc blíží k ‚a‘, tak… Když je x tady, můžeme udělat tuto sečnu. Chceme najít směrnici této sečny. Ale jak je x čím dál blíž, tak se sečna čím dál tím víc podobá tečně. Limita pro x blížící se k ‚a‘, ale ne rovno ‚a‘, bude… Tohle je vlastně naše definice derivace. Neboli alternativní definice derivace. A je to také směrnice tečny, pokud tečna existuje. Když už je tohle jasné, zkusme teď zodpovědět na otázku. Pomocí alternativní definice derivace vysvětlete následující limitu tak, že zjistíte, co je funkce f a co je bod ‚a‘. Tady chtějí najít směrnici tečny v bodě 5, zatímco zde chtěli najít směrnici tečny v bodě ‚a‘, takže je docela zřejmé, že ‚a‘ je rovno 5 a že f v bodě ‚a‘ je rovno 125. Čemu je rovno f(x)? Tady je limita z f(x) minus f(a) a toto je limita z výrazu x na třetí minus 125. A to dává smysl. Pokud je f(x) rovno x na třetí, pak dává smysl, že f(5) je 5 na třetí, což je 125. Zde máme limitu pro x blížící se k ‚a‘ a tady je limita pro x blížící se k 5. Toto je tedy derivace funkce f(x) rovná se x na třetí. Napíšu to zeleně. x na třetí a bod ‚a‘ se rovná 5. Můžeme si to i představit. Pro představu si to nakreslíme. Udělám to tady, kde budou barvy lépe vidět. Toto je y-ová osa. Tohle je x-ová osa. Asi to nebude nakreslené úplně v měřítku. Tady bude 125, tedy bod y rovná se 125. Zde bude bod x rovno 5, takže to opravdu nemám ve stejném měřítku. Daná funkce bude vypadat nějak takto. Víme, jak funkce x na třetí vypadá, vypadá nějak takto. Naše ‚a‘ je rovno 5. Tady je bod [5;125]. A my máme směrnici přímky mezi tímto bodem a libovolným bodem x. Spíš bych měl říct libovolným bodem na této křivce. Třeba tento bod, to bude náš bod [x;x na třetí]. Víme, že f(x) je rovno x na třetí. Ujasním to. Toto je graf funkce y rovná se x na třetí. Celý tento výraz je směrnice přímky mezi těmito dvěma body. Když hledáme limitu pro x blížící se k 5... Tohle je teď naše x. Jak se x čím dál tím víc blíží k 5, sečna bude lepší a lepší aproximací tečny v bodě x rovno 5. Směrnice tečny by tedy vypadala nějak takto.