Derivace x² v bodě x=3 pomocí formální definice

V minulém videu jsme se snažili přijít na směrnici křivky v určitém bodě. A udělali jsme to. Chtěli jsme najít směrnici mezi tímhle bodem a dalším bodem, který není příliš daleko od toho bodu. A dostali jsme směrnici sečny té přímky. A vypadá to úžasně, ale tohle je pouze y-ová souřadnice toho bodu, který není příliš daleko, a tohle je jen y-ová souřadnice bodu, na který se ptáme, takže tohle je změna y-ové souřadnice - ‚Δy‘. A to vydělíte změnou x-ové souřadnice - ‚Δx‘. Takže v tom příkladu je ‚h‘ rozdíl mezi dvěma hodnotami x-ové souřadnice. Tahle vzdálenost je ‚h‘. A to nám dalo směrnici té přímky. Co když vezmeme limitu? Tento bod se co nejvíce přibližuje k tomuto bodu. Když se tenhle bod prostě stane tímto, pak naše směrnice bude směrnice tečny. A to definujeme jako derivaci naší funkce. Řekli jsme, že se to rovná f‘(x). Tak to zkusme v tomto videu použít, abychom si ty znalosti trochu upevnili. Udělám jeden příklad. Prvně udělám určitý příklad, kde chci najít směrnici konkrétního bodu. Tak znovu nakreslím osy. A mám křivku: y se rovná x^2. Takže tohle je moje osa y, tohle je osa x, chci vědět směrnici v bodě x se rovná 3. Když řeknu směrnice, tak si představte tečnu. Udělám to světle žlutě. Můžete si představit tečnu, která jde takhle, a skoro se té křivky nedotýká. Ale jaká je směrnice té tečny? Jaká je směrnice té tečny, která je stejná jako směrnice křivky v tom bodě? Abychom to udělali, tak použiji přesně tuhle techniku, kterou jsme dřív použili. Pak to zobecním, abyste to takhle mohli dělat pro jakékoli číslo. Vyberme si tady další bod. Nazveme ho 3 plus Δx. Měním pojmenování, protože v některých knihách uvidíte ‚h‘, v některých ‚Δx‘. Nevadí, když se seznámíte s obojím. Takže tohle je 3 plus Δx. Co je tohle za bod? Tohle je křivka y se rovná x^2. Takže f(x) je 3^2, a to je 9. Takže je to bod [3,9]. Co je tohle za bod? Kdybychom museli jít až sem, tak co je to za bod? Tady naše x-ová souřadnice je 3 plus Δx. Je to to samé jako tohle: x0 plus h. Taká jsem to mohl nazvat 3 plus h. Takže to je 3 plus Δx. Tak jaká bude hodnota ‚y‘? Jakákoli je hodnota ‚x‘, tak hodnota ‚y‘ je na křivce a bude to x^2. Takže to bude bod (3 plus Δx)^2. Tak pojďme přijít na směrnici téhle sečny. Přiblížím to, to pomůže. Když to přiblížím na tuhle část křivky, tak to možná bude vypadat takhle. Tak mám jeden bod tady a druhý tady. Tohle je sečna. Toto je tento bod [3,9]. A pak tenhle bod je 3 plus Δx, takže nějaké větší číslo než 3, a pak to bude to (nějaké větší číslo než 3)^2. Takže to bude (3 plus Δx)^2. To je co? To bude 9… Bylo by to nepřehledné, tak ten vzorec jen pro zopakování řeknu: (a plus b)^2 je (a^2) plus (2ab) plus (b^2). Takže to bude 9 plus 2 krát součin těchto dvou věcí. Takže plus 6Δx a pak (Δx)^2. To jsou souřadnice druhé přímky. Vypadá to složitě, ale jen jsem vzal tuhle hodnotu x a umocnil ji, protože y-ová souřadnice se rovná x^2. Takže směrnice sečny bude Δy děleno Δx. Takže Δy bude jen y-ová souřadnice tohoto bodu, což je 9 plus 6Δx plus (Δx)^2, minus y-ová souřadnice tohoto bodu. Udělám to zeleně. Takže minus 9. To je vaše ‚Δy‘. A to chcete vydělit ‚Δx‘. Takže jaké je ‚Δx‘? Tohle se ve skutečnosti bude hodit. Zde jsme použili první souřadnici tohoto bodu, tak zde to musí být stejně. To bude 3 plus Δx. A pak jaké je hodnota ‚x‘? 3. Takže tady je minus 3. A co získáme po zjednodušení? Dostaneme 9 minus 9, devítky se vyruší. A co se děje se jmenovatelem? Tohle 3 minus 3 se vyruší. Takže změna v x-ové souřadnici se vlastně stane ‚Δx‘, což dává smysl, protože tohle ‚Δx‘ je ve skutečnosti to, o kolik je větší toto než toto. Takže to by měla být změna v x-ové souřadnici, ‚Δx‘. Takže směrnice sečny se zjednodušila na 6Δx plus (Δx)^2, to vše děleno Δx. A teď to můžeme zjednodušit ještě víc. Tak dělíme čitatele a jmenovatele ‚Δx‘. Změním barvy, abych to trochu oživil. Tak směrnice sečny, když vydělíte čitatele a jmenovatele ‚Δx‘, bude 6 plus Δx. To je směrnice té sečny. Takže směrnice se rovná 6 plus Δx. To je tohle tady. To je tahle červená přímka, kterou jsem namaloval. Když tyhle body jsou 3 a 4, tak by moje směrnice byl 6 plus 1, protože vybírám bod 4, a tedy Δx by bylo 1. Takže by směrnice byla 7. Tak máme základní vzoreček pro jakékoli ‚Δx‘, dokážu přijít na směrnici mezi 3 a 3 plus Δx. Mezi těmito dvěma body. Chtěli jsme nalézt směrnici přímo v tom určitém bodě. Tak se podívejme, co se stane, když se ‚Δx‘ zmenšuje. Tohle je ‚Δx‘. To je tahle vzdálenost. Ale jestliže je ‚Δx‘ menší, tak sečna bude vypadat tahle. Kdyby bylo menší, tak by sečna vypadala takhle, zmenšuje se. Tak se blížíme ke směrnici tečny. Tečna je tohle tady, chci k ní najít směrnici. Tak pojďme najít limitu, když se naše Δx přibližuje 0. Takže limita Δx se blíží k 0, naše směrnice sečny 6 plus Δx se rovná? Je to poměrně jasné. Můžete to dosadit tak, že se to rovná 0 a to se rovná 6. Takže směrnice naší tečny v tomto bodě, kde x se rovná 3, je 6. Mohli bychom to napsat jinak, f(x) se rovná x^2. Tak teď víme, že derivace neboli směrnici tečny funkce v bodě 3, jen jsem tomu dal určitou hodnotu, se rovná 6. Nenapsal jsem základní vzorec pro výpočet směrnice této přímky v jakémkoli bodě, a to udělám v příštím videu.