Formální a alternativní tvar derivace

Promysleme se, jak bychom mohli najít směrnici tečny k této křivce, co je červeně zvýrazněná, v bodě x se rovná a. S touto formou derivace jsme se už setkali. Můžeme nalézt obecný výraz, který nám dá tečnu v jakémkoliv bodě. Tak se podívejme na nějaký libovolný bod a určeme si zde nějaký náhodný bod ‚x‘, pak toto by byl bod [x, f(x)] a můžeme vzít další bod x plus h. Řekněme, že zde je bod x plus h, takže tento bod by byl [x plus h, f(x plus h)]. Pak můžeme zjistit směrnici sečny, která protíná tyto dva body, což by se rovnalo změně v y-ových souřadnicích, tedy f(x plus h) minus f(x), děleno změna v x-ových souřadnicích, (x plus h) minus x. Tyto dvě ‚x‘ se vyruší, takže toto je směrnice sečny. A chceme-li směrnici tečny v bodě ‚x‘, použili bychom limitu tohoto výrazu tak, aby se ‚x‘ přibližovalo k 0. Tento bod se bude blížit k ‚x‘, a směrnice sečny se bude přibližně rovnat směrnici tečny v ‚x‘. Takže o tomto řekneme, že je to rovno derivaci f(x). Tohle je pořád funkce x! Vybereme si libovolné ‚x‘, které lze použít, dosadím do tohoto výrazu, ať už se jedná o cokoli, a z toho nám vypadne nějaké číslo. Takže, pokud bychom chtěli, můžeme to nějak upravit, nebo ani nemusíme, a pak bychom mohli dosadit do f´(a) tak, že si zvolíte jakékoli ‚a‘. To se rovná limitě, kdy ‚x‘ se přibližuje k nule a v každém místě, kde vidíte ‚x‘, to zaměníte za ‚a‘. (Funkce ‚nic‘ plus h) minus funkce ‚nic‘, to celé děleno h. A do těch prázdných míst napíšeme ‚a‘. Všimněme si, že všude je ‚x‘ zaměněno za ‚a‘. Toto je tedy derivace vyhodnocena v bodě ‚a‘ a jeden ze způsobů, jak najít směrnici tečny v bodě x se rovná a. Další způsob, tato metoda je považována za alternativní, je vyhodnotit to přímo. Takže tohle je bod [a, f(a)], a toto další náhodný bod. Vezměme tuto hodnotu ‚x‘, tento bod funkce by byl [x, f(x)]. A jaká je tedy směrnice sečny mezi těmito dvěma body? Opět změna v y-ových souřadnicích, což je f(x) minus f(a), to celé děleno změnou v x-ové souřadnici, tedy x minus a. A jak bychom dostali přesnější odhad pro naši tečnu? Můžeme použít limitu, kdy se ‚x‘ bude přibližovat k ‚a‘, pak se naše sečna bude více a více podobat naší tečně. Tu tečnu mám vybarvenou červeně. Takže bychom chtěli použít limitu, kdy se ‚x‘ přibližuje k ‚a‘. V každém případě děláme naprostou tu samou věc! Hledáme výraz, který je směrnicí sečny, a tyto dva body přibližujeme stále blíže k sobě tak, že hodnota směrnice naší sečny se rovná hodnotě naší tečny. A tedy ta limita se stane výrazem pro směrnici tečny. To je definice derivace. Tohle je více standartní forma derivace, která by dala derivaci jako funkci ‚x‘, do které můžeme posléze dosadit naše ‚x‘, přesnou hodnotu ‚x‘, nebo můžeme použít alternativní formu derivace, pokud víte, že hledáte derivaci přesně v ‚a‘. Nehledáte-li obecnou funkci, můžete provést toto. Obě formy vám dají stejnou hodnotu.