Tečny ke grafům polynomiálních funkcí

Máme tu modrý graf funkce y rovná se f(x), přičemž f(x) se rovná x na třetí minus 6 krát (x na druhou) plus x minus 5. V tomto videu chci najít rovnici tečny v bodě x rovno 1. Můžeme si to nakreslit. Tady je bod x rovná se 1 a zde je funkční hodnota v bodě x rovno 1. Tečna vypadá nějak takto... Umím to udělat lépe. ...vypadá nějak takto. A my chceme najít rovnici této přímky. Pokud už máte nápad, jak na to, zastavte video a zkuste to vyřešit sami. Můžeme to udělat tak, že spočítáme derivaci v bodě x rovno 1. Derivace je totiž směrnice tečny. Budeme tedy znát směrnici tečny a také už víme, že tečna prochází tímto bodem, díky čemuž už dokážeme najít rovnici naší tečny. Takže jdeme na to. Chceme rovnici tečny v bodě x rovno 1. Nejdříve vypočítáme f(1). f(1) je rovno 1 na třetí, což je 1, minus 6 krát (1 na druhou), tedy minus 6, plus 1 minus 5. Kolik to je? 2 minus 11 je rovno -9. To vypadá správně. Tohle vypadá zhruba jako -9. Měřítka na osách x a y jsou různá. f(1) se tedy rovná -9. Udělal jsem to dobře? Ano, je to -9. A teď vypočítáme derivaci v bodě x rovno 1. Čemu se rovná derivace f(x)? Tohle je jednoduše polynom. Na výpočet derivace x na třetí použijeme derivaci mocniny. 3 napíšeme před náš výraz a dostaneme 3 krát x na… Exponent musí být o 1 méně než 3, takže máme x na druhou. Pak je zde minus 6 krát x na druhou. 2 krát 6 je 12, takže minus 12 krát x na… 2 minus 1 je 1, takže to bude 12 krát x. Pak přičteme derivaci x, což je prostě 1. Tady bude 1. Můžeme se na to dívat jako na x na prvou, takže 1 napíšeme dopředu a exponent snížíme o 1. Dostaneme 1 krát x na nultou, což je jednoduše 1. Nakonec tu máme derivaci konstanty, což je 0. Takže toto je derivace f a my ji chceme vyčíslit v bodě 1. Derivace f v bodě 1 bude 3 krát 1 na druhou, což je 3, minus 12 krát 1, takže minus 12, a potom máme plus 1. 3 minus 12 je -9, a ještě plus 1, to je -8. Víme tedy, že směrnice tečny je -8. Známe bod ležící na této přímce, je to bod [1;-9], takže toho teď využijeme k nalezení rovnice naší tečny. Rovnice přímky má tvar y rovná se m krát x plus b, kde m je směrnice. Víme tudíž, že y bude rovno -8 krát x plus b. Nyní dosadíme x-ovou a y-ovou souřadnici bodu, o kterém víme, že leží na přímce, čímž spočítáme b. Víme, že y-ová souřadnice je rovna -9... Napíšu to sem. ...y je rovno -9 a x se rovná 1. Takže máme, že -9 se rovná -8 krát 1, takže -8, plus b. K oběma stranám můžeme přičíst 8 a dostaneme, že -1 je rovno b. Takže máme hotovo. Rovnice přímky, kterou tu máme růžově, je y rovná se -8 krát x minus 1.