Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 8: Skládání pravidla pro derivaci mocniny s ostatními pravidly derivováníTečny ke grafům polynomiálních funkcí
V tomto videu najdeme rovnici tečny ke grafu funkce f(x)=x³-6x²+x-5 v bodě x=1.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme tu modrý graf
funkce y rovná se f(x), přičemž f(x) se rovná x na třetí minus 6
krát (x na druhou) plus x minus 5. V tomto videu chci najít
rovnici tečny v bodě x rovno 1. Můžeme si
to nakreslit. Tady je bod
x rovná se 1 a zde je funkční hodnota
v bodě x rovno 1. Tečna vypadá
nějak takto... Umím to
udělat lépe. ...vypadá nějak takto. A my chceme najít
rovnici této přímky. Pokud už máte nápad, jak na to,
zastavte video a zkuste to vyřešit sami. Můžeme to udělat tak,
že spočítáme derivaci v bodě x rovno 1. Derivace je totiž
směrnice tečny. Budeme tedy znát směrnici tečny a také už
víme, že tečna prochází tímto bodem, díky čemuž už dokážeme
najít rovnici naší tečny. Takže jdeme na to. Chceme rovnici tečny
v bodě x rovno 1. Nejdříve
vypočítáme f(1). f(1) je rovno 1 na třetí, což je 1, minus
6 krát (1 na druhou), tedy minus 6, plus 1 minus 5. Kolik to je? 2 minus 11
je rovno -9. To vypadá
správně. Tohle vypadá
zhruba jako -9. Měřítka na osách
x a y jsou různá. f(1) se tedy rovná -9. Udělal jsem to dobře?
Ano, je to -9. A teď vypočítáme
derivaci v bodě x rovno 1. Čemu se rovná
derivace f(x)? Tohle je jednoduše
polynom. Na výpočet derivace x na třetí
použijeme derivaci mocniny. 3 napíšeme před náš výraz
a dostaneme 3 krát x na… Exponent musí být o 1 méně než 3,
takže máme x na druhou. Pak je zde minus
6 krát x na druhou. 2 krát 6 je 12,
takže minus 12 krát x na… 2 minus 1 je 1,
takže to bude 12 krát x. Pak přičteme derivaci x,
což je prostě 1. Tady bude 1. Můžeme se na to dívat
jako na x na prvou, takže 1 napíšeme dopředu
a exponent snížíme o 1. Dostaneme 1 krát x na nultou,
což je jednoduše 1. Nakonec tu máme derivaci
konstanty, což je 0. Takže toto je derivace f
a my ji chceme vyčíslit v bodě 1. Derivace f v bodě 1 bude
3 krát 1 na druhou, což je 3, minus 12 krát 1,
takže minus 12, a potom
máme plus 1. 3 minus 12 je -9,
a ještě plus 1, to je -8. Víme tedy, že
směrnice tečny je -8. Známe bod ležící na
této přímce, je to bod [1;-9], takže toho teď využijeme
k nalezení rovnice naší tečny. Rovnice přímky má tvar
y rovná se m krát x plus b, kde m je směrnice. Víme tudíž, že y bude
rovno -8 krát x plus b. Nyní dosadíme x-ovou a y-ovou souřadnici
bodu, o kterém víme, že leží na přímce, čímž spočítáme b. Víme, že y-ová
souřadnice je rovna -9... Napíšu to sem. ...y je rovno -9
a x se rovná 1. Takže máme, že -9 se rovná
-8 krát 1, takže -8, plus b. K oběma stranám můžeme přičíst 8
a dostaneme, že -1 je rovno b. Takže máme hotovo. Rovnice přímky, kterou tu máme růžově,
je y rovná se -8 krát x minus 1.