Derivování polynomů

Máme tu funkci f(x) definovanou pomocí polynomu a chtěli bychom najít derivaci naší funkce, což vlastně znamená zderivovat tento polynom, přičemž půjde o derivaci podle x. Nejdříve uděláme derivaci obou stran. Takže derivace f(x) podle x se rovná derivaci podle x z výrazu x na pátou plus 2 krát x na třetí minus x na druhou. Jen abychom si zvykli na zápis, na toto můžeme nahlížet jako na operátor derivace. Znamená to, že podle x chci zderivovat to, co je v závorkách. Pro derivaci f(x) podle x můžeme použít také zápis f(x) s čárkou. A to bude rovno… Teď můžeme použít vlastnosti derivace. Derivace součtu nebo rozdílu výrazů je rovna součtu nebo rozdílu derivací jednotlivých výrazů. Toto je tedy rovno derivaci každého z těchto tří výrazů podle x. Tedy derivace podle x... Napíšu to takto. ...prvního členu plus derivace druhého členu podle x minus derivace třetího členu podle x. Teď si každý člen obarvím. Tady mám x na pátou, takže i sem dám x na pátou. Zde mám 2 krát x na třetí, takže sem napíšu 2 krát x na třetí. A tady odečítám x na druhou, takže zde budu odčítat derivaci x na druhou podle x. Všimněte si, že se tady děje pouze to, že dělám derivaci každého členu a pak je sečtu nebo odečtu stejně jako jsem sčítal nebo odčítal původní členy. Čemu se to tedy bude rovnat? Bude to rovno… Pro x na pátou můžeme použít derivaci mocniny. 5 napíšeme dopředu a exponent zmenšíme o 1, čímž získáme 5 krát x na (5 minus 1), což jsou samozřejmě 4. U druhého členu to můžeme udělat v několika krocích. Napíšu to sem. Mohu napsat, že derivace (2 krát x na třetí) podle x se rovná... konstantu můžu napsat před to. ...2 krát derivace x na třetí podle x. Tohle je jedna z vlastností derivací. Derivace konstanty krát nějaký výraz je rovna konstantě krát derivace toho výrazu. Kolik je derivace x na třetí podle x? 3 napíšeme dopředu a exponent zmenšíme o 1, takže to bude 2 krát 3 krát x na (3 minus 1), což je samozřejmě x na druhou. Toto se tedy rovná 6 krát x na druhou. Mohli jsme to taky udělat tak, že bychom prostě napsali 6 krát x na druhou. Sem bychom napsali 6 krát x na druhou. Místo toho, abychom řešili tohle všechno, se postupně naučíte dělat to rovnou v hlavě. Mám tady 3 jako exponent a vynásobím to touto konstantou, protože to bychom stejně nakonec udělali. 3 krát tato konstanta je 6 krát x, a pak 3 minus 1 je 2. Toto jsme tedy nemuseli dělat, ale je fajn vědět, že to plyne z vlastností derivací, o kterých jsme mluvili v jiných videích. A nakonec tu máme minus... Znovu použijeme derivaci mocniny. 2 napíšeme dopředu a zmenšíme exponent, takže to bude 2 krát x na (2 minus 1), což je prostě 1 a to můžeme prostě napsat jako 2 krát x. Takto jsme tedy nalezli derivaci f. Teď by vás mohlo zajímat, co tohle vlastně je? Teď jsme získali výraz, který udává směrnici tečny. Nebo to je také okamžitá změna funkční hodnoty vzhledem k x pro libovolné x. Takže kdybych teď chtěl f(2) s čárkou, tak mi to řekne, jaká je směrnice tečny naší funkce pro x rovno 2. Spočítám ji pomocí tohoto výrazu. Bude to 5 krát (2 na čtvrtou) plus 6 krát (2 na druhou) minus 2 krát 2. To je rovno… 2 na čtvrtou je 16, 16 krát 5 je 80, takže tohle je 80 a pak 6 krát 4, což je 24, a ještě odečteme 4. 80 plus 24 je 104, a minus 4 je 100. V bodě x rovno 2 je tedy tato křivka velmi strmá. Směrnice tečny je 100. Kdybychom měli graf, tak tečna v bodě x rovno 2… Kdykoliv bychom se na x-ové ose posunuli o 1 doprava, na y-ové ose bychom se posunuli o 100 nahoru. Takže to je hodně strmé, což dává to smysl. Toto je docela vysoký stupeň polynomu. x na pátou a pak přičteme další vysokou mocninu, a to x na třetí, načež odečteme nízkou mocninu. Tohle je tedy celkem očekávatelný výsledek.