Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 8: Skládání pravidla pro derivaci mocniny s ostatními pravidly derivováníDerivování polynomů
Zderivujeme si polynom f(x)=x⁵+2x³-x² a tuto derivaci vyčíslíme v bodě x=2.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme tu funkci f(x) definovanou
pomocí polynomu a chtěli bychom najít
derivaci naší funkce, což vlastně znamená
zderivovat tento polynom, přičemž půjde
o derivaci podle x. Nejdříve uděláme
derivaci obou stran. Takže derivace f(x)
podle x se rovná derivaci podle x z výrazu x na pátou
plus 2 krát x na třetí minus x na druhou. Jen abychom si zvykli na zápis, na toto
můžeme nahlížet jako na operátor derivace. Znamená to, že podle x chci
zderivovat to, co je v závorkách. Pro derivaci f(x) podle x můžeme
použít také zápis f(x) s čárkou. A to bude rovno… Teď můžeme použít
vlastnosti derivace. Derivace součtu nebo
rozdílu výrazů je rovna součtu nebo rozdílu
derivací jednotlivých výrazů. Toto je tedy rovno derivaci
každého z těchto tří výrazů podle x. Tedy derivace podle x... Napíšu to takto. ...prvního členu plus derivace
druhého členu podle x minus derivace třetího
členu podle x. Teď si každý
člen obarvím. Tady mám x na pátou,
takže i sem dám x na pátou. Zde mám 2 krát x na třetí,
takže sem napíšu 2 krát x na třetí. A tady odečítám x na druhou, takže zde
budu odčítat derivaci x na druhou podle x. Všimněte si, že se tady děje pouze to,
že dělám derivaci každého členu a pak je sečtu nebo odečtu stejně jako
jsem sčítal nebo odčítal původní členy. Čemu se to
tedy bude rovnat? Bude to rovno… Pro x na pátou můžeme
použít derivaci mocniny. 5 napíšeme dopředu
a exponent zmenšíme o 1, čímž získáme 5 krát
x na (5 minus 1), což jsou
samozřejmě 4. U druhého členu to můžeme
udělat v několika krocích. Napíšu to sem. Mohu napsat, že derivace
(2 krát x na třetí) podle x se rovná... konstantu můžu
napsat před to. ...2 krát derivace
x na třetí podle x. Tohle je jedna
z vlastností derivací. Derivace konstanty krát nějaký výraz je
rovna konstantě krát derivace toho výrazu. Kolik je derivace
x na třetí podle x? 3 napíšeme dopředu
a exponent zmenšíme o 1, takže to bude 2 krát
3 krát x na (3 minus 1), což je samozřejmě
x na druhou. Toto se tedy rovná
6 krát x na druhou. Mohli jsme to taky udělat tak, že bychom
prostě napsali 6 krát x na druhou. Sem bychom napsali
6 krát x na druhou. Místo toho, abychom
řešili tohle všechno, se postupně naučíte
dělat to rovnou v hlavě. Mám tady 3 jako exponent
a vynásobím to touto konstantou, protože to bychom
stejně nakonec udělali. 3 krát tato konstanta je 6 krát x,
a pak 3 minus 1 je 2. Toto jsme tedy nemuseli dělat, ale je fajn
vědět, že to plyne z vlastností derivací, o kterých jsme mluvili
v jiných videích. A nakonec tu
máme minus... Znovu použijeme
derivaci mocniny. 2 napíšeme dopředu
a zmenšíme exponent, takže to bude 2 krát x na
(2 minus 1), což je prostě 1 a to můžeme prostě
napsat jako 2 krát x. Takto jsme tedy
nalezli derivaci f. Teď by vás mohlo zajímat,
co tohle vlastně je? Teď jsme získali výraz, který
udává směrnici tečny. Nebo to je také okamžitá změna funkční
hodnoty vzhledem k x pro libovolné x. Takže kdybych teď
chtěl f(2) s čárkou, tak mi to řekne, jaká je směrnice
tečny naší funkce pro x rovno 2. Spočítám ji pomocí
tohoto výrazu. Bude to 5 krát (2 na čtvrtou) plus 6 krát
(2 na druhou) minus 2 krát 2. To je rovno… 2 na čtvrtou je 16,
16 krát 5 je 80, takže tohle je 80
a pak 6 krát 4, což je 24, a ještě
odečteme 4. 80 plus 24 je 104,
a minus 4 je 100. V bodě x rovno 2 je tedy
tato křivka velmi strmá. Směrnice tečny je 100. Kdybychom měli graf, tak
tečna v bodě x rovno 2… Kdykoliv bychom se na
x-ové ose posunuli o 1 doprava, na y-ové ose bychom
se posunuli o 100 nahoru. Takže to je hodně strmé,
což dává to smysl. Toto je docela vysoký
stupeň polynomu. x na pátou a pak přičteme další
vysokou mocninu, a to x na třetí, načež odečteme
nízkou mocninu. Tohle je tedy celkem
očekávatelný výsledek.