Základní pravidla derivování: tabulka

Máme zadané zajímavé informace o funkcích f, g a h. O funkci f víme, jaká je pro různá x hodnota f(x) a čemu se rovná první derivace f(x). Pak zde máme definovanou funkci g(x) pomocí absolutní hodnoty. A nakonec tu máme funkci h(x) definovanou pomocí f(x) a g(x). Zajímá nás derivace podle x funkce h(x) pro x rovno 9. Doporučuji zastavit si video a zkusit si to vyřešit předtím, než to vyřeším já. Zkusme se nad tím zamyslet. Jiný způsob zápisu derivace h(x) podle x pro x rovno 9 je... Toto je rovno h… Udělám to modrou barvou. ...je rovno h s čárkou, přičemž ta čárka znamená, že jde o derivaci, h s čárkou pro x rovno 9, tedy h s čárkou v bodě 9. Udělám to jinou barvou. Toto je h s čárkou v bodě 9. Zamysleme se nad tím, co to je. Zderivujme obě strany tohoto výrazu, abychom zjistili, čemu se rovná derivace h podle x. Dostaneme derivaci... Udělám to tou stejnou bílou barvou. ...derivace podle x funkce h(x) je rovna derivaci podle x tohoto všeho. Ještě to jenom opíšu. 3 krát f(x) plus 2 krát g(x). Tato derivace součtu dvou výrazů je totéž jako součet derivací každého z výrazů. Toto je tedy totéž jako derivace podle x z výrazu 3 krát… Napíšu to trochu lépe. 3 krát f(x) plus derivace podle x z 2 krát g(x). Derivace čísla, nebo spíše konstanty, krát funkce… Derivace z konstanty vynásobené funkcí se rovná konstanta krát derivace funkce. Co to znamená? To znamená, že tento první výraz se rovná 3 krát derivace f(x) podle x plus tato část, která se rovná 2... Musím dávat pozor, aby se mi to sem vešlo. ...plus 2 krát derivace g(x) podle x. Derivace h(x) podle x se tedy rovná 3 krát derivace f(x) podle x plus 2 krát derivace g(x) podle x. Pokud bychom to chtěli zapsat pomocí těchto čárek, tak to můžeme přepsat jako: h(x) s čárkou se rovná 3 krát f(x) s čárkou... Toto je totéž jako f(x) s čárkou. ...takže to je 3 krát f(x) s čárkou plus 2 krát g(x) s čárkou. Když už si jednou osvojíte to, že derivace součtu dvou výrazů je součet jejich derivací a že derivace konstanty krát něco je totéž jako konstanta krát derivace toho něčeho, tak můžete jít poměrně rychle přímo odtud sem. Čím je tohle zajímavé? Teď můžeme vyčíslit tuto funkci pro x rovno 9. h(9) s čárkou je to samé jako 3 krát f(9) s čárkou plus 2 krát g(9) s čárkou. Kolik je f(9) s čárkou? Neboli derivace funkce f(x) pro x rovno 9. V zadání máme, že pro x rovno 9 se f(9) rovná 1, ale co je důležitější, že f(9) s čárkou se rovná 3. Tato část je tedy 3 krát 3. Kolik je g(9) s čárkou? Podívejme se na tuto funkci víc do detailu. Můžeme na to jít několika způsoby. Zkusme si to nakreslit, to by mohlo být zajímavé. Lépe si tak představíme, co se nám tu děje. Řekněme, že y-ová osa je tady a zde je x-ová osa. Kdy funkce s takovouto absolutní hodnotou nabývá minima? Absolutní hodnota čehokoli je vždy nezáporná, takže funkce nabývá minima tehdy, když je tento výraz roven 0. A kdy je tento výraz rovný 0? Tento výraz je roven 0 pro x rovná se 1. Funkce tedy nabývá minima pro x rovno 1. Když je x rovno 1, tak je tento člen 0, protože absolutní hodnota nuly je nula, takže g(1) je 1. Jde tedy o tento bod. Co se stane potom? Co se stane pro x větší než 1? Napíšu si to. g(x) je rovno… Když máme obecně funkci s poměrně jednoduchou absolutní hodnotou jako tato, můžeme si ji rozdělit na dvě funkce nebo nad ní můžeme přemýšlet na dvou intervalech, a to na intervalech, kde je vnitřek absolutní hodnoty nezáporný a záporný. Když je vnitřek absolutní hodnoty nezáporný, tak je x větší nebo rovno 0. Když je vnitřek absolutní hodnoty nezáporný... Když bereme absolutní hodnotu z nezáporného čísla, tak to bude to samé číslo. Absolutní hodnota 0 je 0. Absolutní hodnota 1 je 1. Absolutní hodnota 100 je 100. V takovém případě tedy můžeme ignorovat absolutní hodnotu, pro x větší či rovno... Ne větší nebo rovno 0, ale pro x větší nebo rovno 1. Pro x větší nebo rovno 1 je toto nezáporné. Stane se z toho x minus 1. Takže tady bude x minus 1 plus 1, což je to samé jako x, protože 1 minus 1 se sečtou na nulu. Tento výraz bude záporný pro x menší než 1. Absolutní hodnota pak bude opačná hodnota tohoto výrazu. Absolutní hodnota záporného čísla je číslo k němu opačné. Absolutní hodnota -8 je 8. Bude to tedy -(x minus 1), což je 1 minus x a ještě plus 1. Jinak řečeno 2 minus x. Pro x větší nebo rovno 1 půjde tedy o tento výraz. Jakou má tohle směrnici? Směrnice je 1. Máme křivku, nebo vlastně přímku, která vypadá takto, a to pro všechna x větší nebo rovna 1. Hledáme vlastně směrnici tečny, neboli derivaci g(x). Směrnice je tedy rovna 1. A pro x menší než 1… Směrnice, když se podíváme sem, je -1. Vypadá to nějak takto. Nás ale zajímá g(9) s čárkou, přičemž 9 je někde tady. Kolik je tedy g(9) s čárkou? g(9) s čárkou… Abychom měli jasno, toto je graf funkce g(x), nebo můžeme říct, že jde o graf y rovná se g(x). y rovná se g(x). Kolik je tedy g(9) s čárkou? To je směrnice pro x rovno 9 a tato směrnice je rovna 1. g(9) s čárkou je tudíž 1. Čemu se tedy tohle rovná? Je to 3 krát 3, takže tato část je 9, plus 2 krát 1, plus 2, tedy 11. Směrnice tečny funkce h(x) v bodě x rovno 9 je tedy 11.