Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 2
Lekce 7: Pravidla derivování: jak na konstantu, součet, rozdíl a násobení konstantouZákladní pravidla derivování: tabulka
Pomocí daných hodnot funkce f a definice jiné funkce g najdeme derivaci funkce 3f(x)+2g(x). Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme zadané zajímavé
informace o funkcích f, g a h. O funkci f víme, jaká je pro
různá x hodnota f(x) a čemu se rovná
první derivace f(x). Pak zde máme definovanou funkci
g(x) pomocí absolutní hodnoty. A nakonec tu máme funkci
h(x) definovanou pomocí f(x) a g(x). Zajímá nás derivace podle x
funkce h(x) pro x rovno 9. Doporučuji zastavit si video a zkusit si
to vyřešit předtím, než to vyřeším já. Zkusme se nad
tím zamyslet. Jiný způsob zápisu derivace
h(x) podle x pro x rovno 9 je... Toto je rovno h… Udělám to
modrou barvou. ...je rovno h s čárkou, přičemž ta čárka
znamená, že jde o derivaci, h s čárkou pro x rovno 9,
tedy h s čárkou v bodě 9. Udělám to
jinou barvou. Toto je h s čárkou
v bodě 9. Zamysleme se nad
tím, co to je. Zderivujme obě strany
tohoto výrazu, abychom zjistili, čemu se
rovná derivace h podle x. Dostaneme derivaci... Udělám to tou
stejnou bílou barvou. ...derivace podle x funkce h(x) je
rovna derivaci podle x tohoto všeho. Ještě to
jenom opíšu. 3 krát f(x)
plus 2 krát g(x). Tato derivace součtu dvou výrazů je totéž
jako součet derivací každého z výrazů. Toto je tedy totéž jako derivace
podle x z výrazu 3 krát… Napíšu to
trochu lépe. 3 krát f(x) plus derivace
podle x z 2 krát g(x). Derivace čísla, nebo spíše
konstanty, krát funkce… Derivace z konstanty vynásobené funkcí
se rovná konstanta krát derivace funkce. Co to znamená? To znamená, že tento první výraz
se rovná 3 krát derivace f(x) podle x plus tato část,
která se rovná 2... Musím dávat pozor,
aby se mi to sem vešlo. ...plus 2 krát
derivace g(x) podle x. Derivace h(x) podle x
se tedy rovná 3 krát derivace f(x) podle x
plus 2 krát derivace g(x) podle x. Pokud bychom to chtěli
zapsat pomocí těchto čárek, tak to můžeme
přepsat jako: h(x) s čárkou se rovná
3 krát f(x) s čárkou... Toto je totéž
jako f(x) s čárkou. ...takže to je 3 krát f(x) s čárkou
plus 2 krát g(x) s čárkou. Když už si jednou
osvojíte to, že derivace součtu dvou výrazů
je součet jejich derivací a že derivace konstanty krát něco je totéž
jako konstanta krát derivace toho něčeho, tak můžete jít poměrně rychle
přímo odtud sem. Čím je tohle
zajímavé? Teď můžeme vyčíslit tuto
funkci pro x rovno 9. h(9) s čárkou je to samé jako 3 krát
f(9) s čárkou plus 2 krát g(9) s čárkou. Kolik je
f(9) s čárkou? Neboli derivace funkce f(x)
pro x rovno 9. V zadání máme, že pro
x rovno 9 se f(9) rovná 1, ale co je důležitější,
že f(9) s čárkou se rovná 3. Tato část je
tedy 3 krát 3. Kolik je
g(9) s čárkou? Podívejme se na tuto
funkci víc do detailu. Můžeme na to jít
několika způsoby. Zkusme si to nakreslit, to
by mohlo být zajímavé. Lépe si tak představíme,
co se nám tu děje. Řekněme, že y-ová osa je
tady a zde je x-ová osa. Kdy funkce s takovouto absolutní
hodnotou nabývá minima? Absolutní hodnota čehokoli
je vždy nezáporná, takže funkce nabývá minima tehdy,
když je tento výraz roven 0. A kdy je tento
výraz rovný 0? Tento výraz je roven 0
pro x rovná se 1. Funkce tedy nabývá
minima pro x rovno 1. Když je x rovno 1, tak je tento člen 0,
protože absolutní hodnota nuly je nula, takže g(1) je 1. Jde tedy
o tento bod. Co se stane potom? Co se stane
pro x větší než 1? Napíšu si to. g(x) je rovno… Když máme obecně funkci s poměrně
jednoduchou absolutní hodnotou jako tato, můžeme si ji rozdělit
na dvě funkce nebo nad ní můžeme
přemýšlet na dvou intervalech, a to na intervalech, kde je vnitřek
absolutní hodnoty nezáporný a záporný. Když je vnitřek absolutní hodnoty
nezáporný, tak je x větší nebo rovno 0. Když je vnitřek absolutní
hodnoty nezáporný... Když bereme absolutní
hodnotu z nezáporného čísla, tak to bude
to samé číslo. Absolutní hodnota 0 je 0. Absolutní hodnota 1 je 1. Absolutní hodnota 100 je 100. V takovém případě tedy můžeme ignorovat
absolutní hodnotu, pro x větší či rovno... Ne větší nebo rovno 0,
ale pro x větší nebo rovno 1. Pro x větší nebo rovno 1
je toto nezáporné. Stane se z toho
x minus 1. Takže tady bude
x minus 1 plus 1, což je to samé jako x,
protože 1 minus 1 se sečtou na nulu. Tento výraz bude záporný
pro x menší než 1. Absolutní hodnota pak bude
opačná hodnota tohoto výrazu. Absolutní hodnota záporného čísla
je číslo k němu opačné. Absolutní hodnota -8 je 8. Bude to tedy -(x minus 1),
což je 1 minus x a ještě plus 1. Jinak řečeno
2 minus x. Pro x větší nebo rovno 1
půjde tedy o tento výraz. Jakou má
tohle směrnici? Směrnice je 1. Máme křivku, nebo vlastně
přímku, která vypadá takto, a to pro všechna x
větší nebo rovna 1. Hledáme vlastně směrnici
tečny, neboli derivaci g(x). Směrnice je
tedy rovna 1. A pro x menší než 1… Směrnice, když se
podíváme sem, je -1. Vypadá to nějak takto. Nás ale zajímá g(9) s čárkou,
přičemž 9 je někde tady. Kolik je tedy
g(9) s čárkou? g(9) s čárkou… Abychom měli jasno,
toto je graf funkce g(x), nebo můžeme říct,
že jde o graf y rovná se g(x). y rovná se g(x). Kolik je tedy
g(9) s čárkou? To je směrnice
pro x rovno 9 a tato směrnice
je rovna 1. g(9) s čárkou
je tudíž 1. Čemu se tedy
tohle rovná? Je to 3 krát 3, takže tato část je 9,
plus 2 krát 1, plus 2, tedy 11. Směrnice tečny funkce
h(x) v bodě x rovno 9 je tedy 11.