Základní pravidla derivování

Nyní už umíme mocninové pravidlo a viděli jsme v minulém videu, že derivace podle proměnné x, z 'x' na n-tou, bude rovna n krát x na (n minus 1) pro 'n' různá od 0. Myslel jsem si, že bych vám mohl vysvětlit další pravidla nebo vlastnosti derivací, které nám umožní zderivovat jakýkoli mnohočlen. Tohle jsou velmi důležité věci. První věc, u které bych se rád pozastavil: proč právě pro 'n' různá od 0? Co by se stalo, pokud by 'n' bylo rovné 0? Pojďme o tom chvíli popřemýšlet. Zkusme zderivovat 'x' na nultou podle proměnné x. Co je vlastně 'x' na nultou? A můžeme, v tomto konkrétním případě, předpokládat, že 'x' je různé od 0. 0 na nultou, to je podivný případ. Ale pokud je 'x' různé od 0, čemu se potom rovná 'x' na nultou? Je to vlastně stejné, jako když zderivujete 'x', které je rovno 1 (tedy konstantu). 'x' na nultou je rovné 1. Co dělat, pokud chceme zderivovat 'x', které se rovná 1? K odpovědění otázky vám to načrtnu. Nakreslím graf funkce 'x se rovná 1' pro zjednodušení. Toto je osa y. A toto je osa x. A načrtnu 'y se rovná 1', neboli 'f(x) se rovná 1'. Tady máme 1. Funkce proměnné x, kde 'x' je rovno 1, je horizontální přímka. Takže toto zde je graf y se rovná f(x), což se rovná 1. Jeden z možných výkladů derivace říká, že derivace je směrnice tečny v jakémkoli bodě. Jaká je tedy směrnice tečny v tomto bodě? Obecně, jaký je sklon tečny ve všech bodech? Vzhledem k tomu, že jde o přímku, směrnice se nemění. Zde máme konstantní směrnici. Jde o horizontální přímku. Sklon je nulový. Tedy ve všech bodech bude směrnice rovná 0. Směrnice naší přímky bude v každém bodě rovněž rovná 0. Obecně to platí pro jakoukoli konstantu. Mějme funkci f proměnné x, kde 'x' je rovno 3. Nechť 'y' je rovno 3. Čemu je rovná derivace funkce y podle proměnné x? Záměrně vám ukážu různé možnosti zápisu derivace. Takže, jaká je derivace y podle proměnné x? Také to může být napsáno jako 'y' s čárkou. Čemu se to bude rovnat? Bude to směrnice v jakémkoliv bodě. Vidíme, že nezáleží na tom, jaké 'x' hledáme, směrnice tam bude 0. Takže, derivace bude 0. To neplatí jen pro 'x' na nultou. Když máte derivaci konstanty, dostanete 0. Takže to napíšu. Derivace podle 'x' jakékoliv konstanty... Takže řekněme, že A je pouze konstanta, se bude rovnat 0. Je to celkem jasné. Pojďme se podívat na další vlastnosti. Řekněme, že chci derivaci podle 'x' z toho samého A. Mám konstantu vynásobenou nějakou funkcí. Pro tento případ derivace fungují dobře. Můžete vzít tento malý skalární násobitel, tu malou konstantu, a dát ji před derivaci. Takže se to bude rovnat A... (Nechtěl jsem použít tuto fialovou.) Takže se to bude rovnat A krát derivace f(x). (Napíšu to modrou barvou.) Další způsob, jak zapsat derivaci f(x), je: Toto se rovná A krát tohle napravo, což to přesně to samé jako f'(x). Tohle může vypadat jako příliš vyšperkovaný zápis, ale myslím, že po příkladu to začne dávat smyl. Takže, co kdybych se vás zeptal na derivaci podle 'x' z (2 krát x na pátou)? Tato vlastnost, kterou jsem zrovna vyložil, říká, že toto bude to samé jako 2 krát derivace z (x na pátou). 2 krát derivace podle 'x' z (x na pátou). V podstatě jsem mohl vzít tento skalár a dát ho před derivaci. Takže tady vpravo je derivace podle 'x' z (x na pátou). To umíme vyřešit pomocí pravidla o derivaci mocnin. Takže to se bude rovnat... 2 krát... Jen to napíšu. Chci používat stejné barvy. Bude se to rovnat 2 krát derivace (x na pátou). Pravidlo o derivaci mocnin nám říká, že 'n' je 5. Takže to bude 5x na (5 minus 1) neboli 5x na čtvrtou. Takže to bude 5x na čtvrtou, což se rovná 2 krát 5 je 10, x na čtvrtou. Pro 2x na pátou tedy můžete říct, ok, mocninné pravidlo říká, že derivace je 5x na čtvrtou. 5 krát 2 je 10. To nám dost zjednoduší život. Díky pravidlu o mocninách a této vlastnosti umíme spočítat derivaci ve tvaru Ax na nějaké 'n'. Zaměřme se nyní na jinou velice užitečnou vlastnost derivace. A ta se netýká pouze pravidla o mocninách, platí pro všechny derivace. Zejména je užitečná pro pravidlo mocnin, protože nám dovoluje sestavit mnohočleny a počítat jejich derivace. Ale kdybych měl počítat derivaci ze součtu dvou funkcí... Takže derivaci... Řekněme, že je jedna funkce f(x) a pak druhá g(x). Naštěstí pro nás, toto je to samé jako derivace funkce f(x) plus derivace funkce g(x). Takže je to stejná věc jako f... Vlastně, použiju tady ten derivační operátor, aby to bylo jasné. Je to stejná věc jako derivace podle 'x' z funkce f(x) plus derivace podle 'x' z funkce g(x). Teď dáme f(x) sem a g(x) dáme sem. A tak s použitím druhého zápisu můžeme říct, že to bude stejné. Derivace podle 'x' z funkce f(x), což napíšeme jako f'(x). A derivaci podle 'x' z funkce g(x) napíšeme jako g'(x). Teď vám to znovu může připadat jako příliš krkolomný zápis. Ale až uvidíte příklad, bude to vám zápis jasný. Když chci spočítat derivaci podle 'x', řekněme z (x na třetí plus x na minus čtvrtou), tak už víme, že derivace součtu je stejná jako součet derivací. Takže dostaneme derivaci tohoto výrazu pomocí pravidla o mocninách. Takže to bude 3x na druhou. A k tomu můžeme přičíst derivaci tohoto tady napravo. Takže to bude... (To je jiný odstín modré...) A tady je -4. Takže, plus -4 krát x na (-4 minus 1), neboli x na minus pátou. Takže máme... Mohl bych to trochu zjednodušit. Toto bude rovno 3x na druhou minus 4x na minus pátou. Takže teď máme všechny nástroje, které potřebujeme, abychom uměli získat derivaci libovolného mnohočlenu. Takže pojďme to procvičit. Řekněme, že mám... (A napíšu to bílou.) Řekněme, že funkce f(x) se rovná 2x na třetí minus 7x na druhou plus 3x minus 100. Jaká je první derivace f podle 'x'? Čemu se derivace f podle 'x' bude rovnat? Použijeme vlastnosti, které jsme probrali. Derivace z tohoto se bude rovnat 2 krát derivace z 'x' na třetí. Derivace z 'x' na třetí bude 3x na druhou, takže to bude 2 krát 3x na druhou. Čemu se rovná derivace z -7x na druhou? Bude to -7 krát derivace z 'x' na druhou, což je 2x. Čemu se rovná derivace z 3x? Bude to 3 krát derivace z 'x', neboli 3 krát derivace z 'x' na prvou. Derivace z 'x' na prvou je prostě 1. Takže to bude plus 3 krát... Můžeme říct 1x na nultou... ... ale to je prostě 1. Nakonec, čemu se rovná derivace konstanty? Napíšu to jinou barvou. Čemu se rovná derivace konstanty? To jsme probrali na začátku tohoto videa. Derivace jakékoli konstanty se rovná 0, takže plus 0. Teď můžeme začít se zjednodušováním. Derivace f bude 2 krát 3x na druhou, což je 6x na druhou. -7 krát 2x je -14x, plus 3. Tu nulu psát nemusíme. A máme hotovo! Takže teď ovládáme všechny nástroje pro nalezení derivací mnohočlenů a vlastně i věcí, které mnohočleny přesahují.