Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 4
Lekce 5: Řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin- Úvod do úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin
- Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin (vícero veličin)
- Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin: Auta jedoucí na křižovatku
- Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin: Padající žebřík
- Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin (Pythagorova věta)
- Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin: nalévání vody do kuželu
- Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin (pro pokročilé)
- Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin: stín sovy
- Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin: horkovzdušný balon
Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin: stín sovy
V tomto videu vyřešíme úlohu na derivaci vzájemně souvisejících veličin o stínu, který vrhá sova při lovení myši. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Je pozdě k večeru a nějaký dravý noční
pták, třeba sova, loví svoji večeři. Tohle tedy
bude nějaká myš. Sova se snáší směrem přímo
dolů poblíž pouliční lampy. Dále víme
několik dalších věcí. Pouliční lampa
má výšku 20 stop. Přesně v tuto chvíli, i když tomu
moje měřítko možná úplně neodpovídá, se sova nachází
15 stop nad myší. Myš samotná se nachází
10 stop od lampy. Dále víme, že v tuto chvíli sova letí
přímo dolů rychlostí 20 stop za sekundu. A co nás zajímá je... Lampa vyzařuje do
všech stran světlo, díky čemuž se utvořil stín
sovy, který je právě teď tady. Jak sova letí víc a víc dolů, její
stín se pohybuje směrem doleva. Takže když víme tohle
všechno, moje otázka zní: Jak rychle
se stín hýbe? Zamysleme se nad tím,
co víme a co nevíme. Za tím účelem si zavedeme
několik proměnných. Nakreslím si teď to samé,
ale trochu víc geometricky. Tohle bude pouliční lampa,
která je 20 stop vysoká. Toto bude výška, ve které se sova
momentálně nachází, tedy 15 stop. Vzdálenost mezi lampou a místem,
kam letí sova, tedy myší, je 10 stop. Teď se zamyslíme,
kde bude stín sovy. Světlo je vyzařováno odsud a sova ho
takto blokuje, takže její stín je tady. Když tedy nakreslíme úsečku od zdroje
světla procházející sovou až na zem, tak zjistíme, kde
bude stín sovy. Její stín bude tady. Naším úkolem je zjistit,
jak rychle se stín hýbe, přičemž víme, že se
hýbe směrem doleva. Teď si zavedeme
několik proměnných. Které hodnoty se mění? Víme, že výška sovy se mění,
tak si ji označme třeba jako y. Přesně v tuhle chvíli se
rovná 15, ale stále se mění. Vzdálenost mezi stínem sovy
a myší si označme jako x. Dokážeme nyní přijít
na nějaký vztah mezi x a y? Pomocí tohoto vztahu pak budeme chtít
zjistit, jaká je změna x v průběhu času. Víme, čemu se v tuto chvíli
rovná y i dy lomeno dt. Dokážeme najít nějaký vztah mezi x a y,
zderivovat ho podle t, a tím zjistit, čemu se v danou chvíli
rovná dx lomeno dt? Oba tyto trojúhelníky... Když říkám „oba tyto trojúhelníky“,
měl bych ujasnit, o čem přesně mluvím. Tento menší zelený trojúhelník je podobný
tomuto většímu modrému trojúhelníku. Jak jsem na to přišel? Oba mají jeden pravý úhel
a dále mají společný tento úhel, a když jsou dva jejich úhly stejně velké,
pak už je i velikost třetího úhlu stejná, tudíž jde o
podobné trojúhelníky, takže odpovídající strany mají
délky ve stejném poměru. Víme tedy, že poměr x ku y se musí
rovnat poměru délky celé této strany, což je x plus 10, ku příslušné výšce
ve větším trojúhelníku, která se rovná 20. Teď už máme
vztah mezi x a y, a když teď obě strany zderivujeme
podle t, tak budeme na dobré cestě. Ještě předtím, než budu derivovat
podle t, což bych mohl udělat už teď, si to trochu zjednoduším
a rovnici zbavím lomených výrazů. Obě strany rovnice vynásobím 20 a y,
abych nemusel pracovat se jmenovateli. Na levé straně mi zbyde 20 krát x,
přičemž na levé straně... Pardon, na levé straně bude
20 krát x a na pravé straně bude... Tohle se pokrátí, takže zbyde
x krát y plus 10 krát y. Nyní obě strany
zderivuji podle času. Derivace (20 krát něco) podle času je
derivace (20 krát něco) podle toho něčeho, což je jednoduše 20, protože jde
o derivaci (20 krát x) podle x, krát derivace x podle t. Tohle se rovná... Nyní budeme muset použít
vzorec pro derivaci součinu. Nejprve tu bude derivace x podle
času, tedy derivace prvního činitele, vynásobená druhým
činitelem, tedy krát y, plus první činitel krát
derivace druhého činitele, přičemž derivace y podle t
je jednoduše dy lomeno dt, a konečně derivace (10 krát y) podle t je
derivace (10 krát y) podle y, což je 10, krát derivace y podle t,
což je dy lomeno dt. Teď už máme vztah mezi
dx lomeno dt, dy lomeno dt, x a y. Nyní už máme vše,
co potřebujeme. Tohle je naše neznámá,
dx lomeno dt. Tady je další dx lomeno dt,
to budeme chtít spočítat. Víme, čemu se rovná y,
y se rovná 15. Víme také, čemu se
rovná dy lomeno dt. Protože y klesá, tak můžeme říct,
že dy lomeno dt se rovná −20, takže víme, čemu
se rovná i tohle. A když víme i... Taky víme, čemu
se rovná tohle. Takže když víme i čemu se rovná x,
můžeme rovnici vyřešit pro dx lomeno dt. Čemu se tedy
v tuto chvíli rovná x? Můžeme použít tuhle první
rovnici nebo i tu úplně nahoře, ale tahle je už trochu
zjednodušená a lépe z ní spočítáme x. Takže to teď udělejme a poté za x
dosadíme do naší zderivované rovnice. Máme, že 20 krát x se rovná x krát y,
přičemž y se rovná 15... Mohl jsem použít tuto rovnici, ale tahle
už je po vynásobení o krok zjednodušená. ...x krát y, přičemž y se
rovná 15, takže x krát 15, plus 10 krát y,
takže plus 10 krát 15. Tedy 20 krát x se rovná
x krát 15 plus 10 krát 15. Když nyní odečteme... Tohle je 20 krát x se rovná
15 krát x plus 150. Když od obou stran
odečteme 15 krát x, dostaneme, že 5 krát x
se rovná 30, a teď vydělíme... Pardon, už myslím dopředu,
5 krát x se rovná 150. Obě strany nyní vydělíme 5 a dostaneme,
že v tuto chvíli se x rovná 30 stop. Když se vrátíme k původnímu obrázku,
tak tato vzdálenost je 30 stop. Nyní dosadíme všechny známé hodnoty
do této rovnice a spočítáme dx lomeno dt. Máme, že 20 krát dx lomeno dt... Napíšu to oranžovou, i když tu jsem
vlastně už použil, tak raději růžovou. 20 krát dx lomeno dt se rovná
dx lomeno dt krát y, přičemž y je v
tuto chvíli 15 stop, takže krát 15 plus x, a my už víme, že x
je 30, takže plus 30 krát dy lomeno dt... Čemu se rovná
dy lomeno dt? Můžeme říci, že dy lomeno dt
se rovná −20 stop za sekundu. Hodnota y totiž klesá, protože sova
letí dolů, aby ulovila svoji večeři. ...krát −20 stop za sekundu
plus 10 krát dy lomeno dt, takže plus 10 krát
−20 stop za sekundu. Teď jen vyřešíme
rovnici pro dx lomeno dt. Máme 20 krát... Od obou stran rovnice odečtu
15 krát dx lomeno dt, zbyde mi 5 krát
dx lomeno dt... Jen jsem tohle odečetl
od obou stran rovnice. Tady je 15 krát dx lomeno dt, tady
20 krát, takže máme 5 krát dx lomeno dt. To se rovná... Tahle část se rovná −600
a tato část je −200, takže to se rovná
−800 stop za sekundu, nebo jen −800, ale skutečně
půjde o stopy za sekundu. dx lomeno dt se tedy rovná,
když obě strany vydělíme 5... 5 krát 16 je 80, takže tady
bude −160 stop za sekundu. A máme hotovo. Vidíme, že stín se pohybuje
velmi rychle doleva. Hodnota x se zmenšuje, proto zde
taky máme záporné znaménko. Hodnota x se zmenšuje, stín jde směrem
doleva, a to poměrně velkou rychlostí.