Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin: nalévání vody do kuželu

Máme tu velmi zajímavý příklad. Jedná se o kelímek ve tvaru kuželu, jehož výška je 4 centimetry, přičemž průměr vršku kelímku je také 4 centimetry. Do tohoto kelímku lijeme vodu rychlostí 1 centimetr krychlový za sekundu. Právě teď dosahuje voda v kelímku výšky 2 centimetry. Takže výška mezi dnem kelímku a tímto bodem je nyní 2 centimetry. Moje otázka pro vás zní: "Jaká je rychlost změny..." Už víme, jak rychle teče voda do kelímku, máme zadán její objem za čas. Moje otázka pro vás zní: Přesně v tuto chvíli, kdy kelímek plníme rychlostí 1 centimetr krychlový za sekundu a v kelímku jsou přesně 2 centimetry vody, jaká je rychlost změny výšky vody v kelímku? Víme, že výška vody je 2 centimetry, ale jak rychle se tato výška mění? Zamysleme se nejdřív nad tím, co víme. Víme, jak rychle se mění objem vody v kelímku s časem. Tak si to zapišme. Víme, jak rychle se mění objem vody za čas, 1 centimetr krychlový za sekundu. A co chceme zjistit? Chceme zjistit, jak rychle se mění výška vody za čas. Víme, že teď je výška vody 2 centimetry, ale chceme zjistit, jaká je rychlost změny výšky vody za čas. Když spočítáme tohle, tak budeme mít úlohu hotovou. Jedním způsobem jak to udělat je, že přijdeme na nějaký vztah mezi objemem a výškou v libovolnou chvíli a následně tento vztah zderivujeme, nejspíše pomocí derivace složené funkce, čímž dostaneme vztah mezi rychlostí změny objemu a rychlostí změny výšky. Tak to krok po kroku udělejme. Dokážeme najít nějaký vztah mezi objemem a výškou v libovolnou chvíli? Tady máme vzorec pro objem kuželu. Objem kuželu je jedna třetina krát obsah podstavy krát výška. Vzorec si tu dokazovat nebudeme, i když později bychom mohli, zejména až si v integrálním počtu budeme povídat o rotačních tělesech. Zatím ale budeme věřit tomu, že tohle je správný vzorec pro objem kuželu. Když známe tohle, dokážeme nyní najít vztah mezi objemem a výškou kuželu? Můžeme napsat, že objem... Udělám to touhle modrou barvou, protože nás zajímá objem vody. Objem vody je jedna třetina krát obsah povrchu vodní hladiny krát výška vody ‚h‘. Jak spočítáme obsah povrchu vodní hladiny, nejlépe v závislosti na ‚h‘? Na obrázku vidíme, že průměr vršku kuželu je 4 centimetry, přičemž výška celého kuželu je také 4 centimetry. Tento poměr bude platit pro libovolnou výšku vody. Poměr průměru vršku a výšky vody bude vždy stejný, protože toto jsou přímé čáry. Takže v libovolnou chvíli bude poměr průměru a výšky stále stejný. V libovolnou chvíli je tedy průměr povrchu vodní hladiny roven výšce vody ‚h‘. Z toho už můžeme odvodit, že poloměr bude ‚h‘ lomeno 2. Obsah povrchu vodní hladiny je π krát r na druhou, v našem případě π krát (h lomeno 2) na druhou. To je obsah povrchu vodní hladiny. Samozřejmě musíme ještě vynásobit jednou třetinou a také číslem ‚h‘. Teď to zkusím nějak zjednodušit. Bude to jedna třetina krát (π krát h na druhou, to celé lomeno 4) krát další h, což se rovná π krát h na třetí, to celé lomeno 12, tomu se rovná náš objem. Nyní chceme najít vztah mezi rychlostí změny objemu za čas a změny výšky za čas. Protože nás tolik zajímá, co se děje v průběhu času, zderivujme obě strany této rovnice podle času. Abych tady na to měl více místa, tak si to trochu posunu doprava. Teď už můžeme obě strany rovnice zderivovat podle času. Tedy derivace objemu podle času a derivace tohoto výrazu podle času. Derivaci objemu podle času můžeme přepsat jako dV lomeno dt, přesně jako nahoře. Takže tady bude dV lomeno dt a na druhé straně bude... Konstanty můžeme vytknout, takže to bude (π lomeno 12) krát derivace (h na třetí) podle t. Aby bylo to, co tu teď dělám, trochu jasnější, předpokládáme, že výška je funkcí času. Určitě je to funkce času, protože jak čas plyne, výška se mění, protože do kelímku lijeme další a další vodu. Takže místo toho, abych sem napsal h na třetí, což bych mohl, tak sem napíšu h(t) na třetí, aby bylo jasně vidět, že je to funkce proměnné t. Čemu se rovná derivace (h(t) na třetí) podle t? Teď vás asi napadá, že by šel použít vzorec pro derivaci složené funkce. Tak se na tuto derivaci složené funkce podívejme... Nejdřív napíšu vše ostatní. Derivace V podle t se rovná (π lomeno 12) krát derivace tohoto výrazu podle t. Chceme spočítat derivaci tohohle podle t. Máme něco na třetí, takže chceme najít derivaci něčeho na třetí podle něčeho. To se bude rovnat... Napíšu to jinou barvou, třeba oranžovou. To se bude rovnat 3 krát naše něco na druhou krát derivace toho něčeho podle t. Tedy krát dh... Tuhle růžovou už jsem vlastně použil. ...krát dh lomeno dt. Aby to bylo úplně jasné, tento oranžový člen... Používám derivaci složené funkce. ...to je derivace (h(t) na třetí) podle h(t), kterou následně vynásobíme derivací h(t) podle t. Toto celé je derivace výrazu (h(t) na třetí) podle t. To je přesně to, co chceme získat, když použijeme tento operátor, a to jak rychle se tento výraz mění v průběhu času. Teď si to můžeme přepsat, ať je to trochu jasnější. Máme dV lomeno dt, tedy rychlost změny objemu za čas, a to se rovná (π lomeno 12) krát 3 krát h(t) na druhou, což si můžeme napsat jako 3 krát h na druhou, krát rychlost změny výšky za čas, tedy krát dh lomeno dt. Možná jste teď trochu zmatení. Možná by vás svádělo zderivovat tento výraz podle h, ale nezapomeňme, že nás zajímá, jak se věci mění v průběhu času. Objem jsme vyjádřili jako funkci výšky, ale výška samotná je funkcí času, takže všechno derivujeme podle času, proto bylo potřeba při derivaci h(t) použít derivaci složené funkce, protože předpokládáme, že h je funkcí času. Co nám tato věc říká? Ze zadání víme, čemu se v tuto chvíli rovná dV lomeno dt. Víme, že je to 1 centimetr krychlový za sekundu. Také víme, jaká je v tuto chvíli výška. V zadání bylo řečeno, že jsou to 2 centimetry. Víme, že tato výška se rovná 2 centimetry. Jedinou neznámou je tak rychlost změny výšky za čas, což je přesně to, co od začátku potřebujeme spočítat, takže stačí vyřešit rovnici. Víme, že 1 centimetr krychlový za sekundu... Nebudu psát jednotky, abych ušetřil místo. ...se rovná (π lomeno 2) krát 3 krát h na druhou... h se rovná 2, takže včetně jednotek dostaneme 4 centimetry čtverečné. ...3 krát 4... Ale teď jsem to pokazil, nemá to být π lomeno 2, ale π lomeno 12. Tady má být π lomeno 12. Takže máme (π lomeno 12) krát 3 krát 2 na druhou krát dh lomeno dt. Tohle celé se rovná 1. Teď budu psát neutrální barvou. Dostaneme, že 1 se rovná... 3 krát 4 je 12, a to se pokrátí s touhle 12, takže dostaneme, že 1 se rovná π krát dh lomeno dt. Abychom osamostatnili dh lomeno dt, tak obě strany vydělíme π, a máme hotovo. Rychlost, s jakou se výška vody mění za čas, když do kelímku lijeme 1 centimetr krychlový vody za sekundu a když je výška vody 2 centimetry, rychlost, s jakou se tato výška mění za čas, je 1 lomeno π. Jednotky jsem už potom nepsal, ale bude to v centimetrech za sekundu. Výslednou jednotku si můžete odvodit tak, že si sem napíšete příslušné jednotky. Takže takto se mění výška vody přesně v tuto chvíli.