Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 4
Lekce 5: Řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin- Úvod do úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin
- Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin (vícero veličin)
- Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin: Auta jedoucí na křižovatku
- Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin: Padající žebřík
- Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin (Pythagorova věta)
- Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin: nalévání vody do kuželu
- Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin (pro pokročilé)
- Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin: stín sovy
- Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin: horkovzdušný balon
Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin: horkovzdušný balon
V tomto příkladu nás bude zajímat rychlost změny výšky horkovzdušného balonu v závislosti na úhlu, pod kterým balon vidíme. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Sledujete přehlídku
horkovzdušných balonů a zajímá vás, jak rychle stoupá
jeden konkrétní balon. Víte několik věcí. Znáte přesné místo na zemi, z něhož balon
vzlétl a které je přímo pod balonem, protože balon
letí přímo vzhůru. Víte, protože jste si to změřili, že jste
od tohoto místa vzdáleni 500 metrů. Dále jste byli schopni změřit
úhel mezi touto úsečkou a balonem. Nejsem zrovna zeměměřič, ale asi to
jde změřit pomocí hledáčku nebo tak. Takže jste změřili... Možná to není to pravé,
ale jsou přístroje, pomocí nichž se změří úhel mezi vodorovnou
přímkou a něčím, co na ní neleží. Víte tedy, že tento úhel má velikost
π lomeno 4 radiánů, neboli 45 stupňů. Necháme tu π lomeno 4, protože
když derivujeme goniometrické funkce, tak předpokládáme,
že počítáme v radiánech. Takže tenhle úhel má velikost
π lomeno 4 radiánů. Dále jste dokázali zjistit,
jak rychle se tento úhel mění. Velikost tohoto úhlu se mění
rychlostí 0,2 radiánu za minutu. Moje otázka pro vás, neboli otázka, která
vás napadla při sledování balonu, je: Jak rychle
teď balon stoupá? Jak rychle balon
stoupá ve chvíli, kdy je úhel mezi vodorovnou úsečkou a
úsečkou spojující vás a balon π lomeno 4, přičemž velikost tohoto úhlu se
mění rychlostí 0,2 radiánu za minutu? Zamysleme se nad tím,
co víme a co chceme zjistit. Víme několik věcí. Víme, že θ se rovná π lomeno 4, přičemž
písmenem θ jsem označil tento úhel. Také víme, jak
rychle se θ mění. Víme, že dθ... Udělám to žlutě. Víme, že dθ lomeno dt se
rovná 0,2 radiánu za minutu. A co chceme zjistit? Chceme zjistit, jak rychle
se mění výška balonu. Když si tuto vzdálenost označíme jako h,
tak chceme spočítat dh lomeno dt. Tohle je to,
co nevíme. Nyní budeme chtít najít nějaký vztah mezi
dh lomeno dt, dθ lomeno dt a možná i θ, pokud to bude potřeba. Taky se na to lze dívat tak,
že můžeme najít vztah mezi h a θ, tento vztah pak
zderivovat podle t, čímž nejspíš dostaneme vztah
mezi všemi těmito hodnotami. Jaký je tedy
vztah mezi θ a h? Teď bude potřeba
trocha trigonometrie. Zkusíme spočítat h, přičemž už víme,
čemu se rovná tato vzdálenost. Protilehlá odvěsna ku přilehlé odvěsně
je přesně definice tangensu úhlu. Zapišme si to. Víme, že tangens θ je protilehlá odvěsna,
což je h, lomeno přilehlá odvěsna, o které víme, že bude
stále rovna 500. Tohle je tedy
vztah mezi θ a h. Abychom našli vztah mezi
θ, dθ a dh lomeno d... dθ lomeno dt, tedy rychlostí
změny θ vzhledem k t, a rychlostí změny
h vzhledem k t. ...tak musíme implicitně zderivovat
obě strany této rovnice podle t. Tak se na
to podívejme. h lomeno 500 si trochu posunu, abych
před to mohl napsat operátor derivace. Teď už derivujme podle t. Takže d lomeno dt... Uděláme derivaci levé strany podle t
a derivaci pravé strany podle t. Čemu se rovná derivace
tangens θ podle t? Na to použijeme derivaci
složené funkce. Nejprve to bude derivace tangens θ
podle θ, což je (sekans θ) na druhou, krát derivace θ podle t,
tedy krát dθ lomeno dt. Jde o derivaci tangenty něčeho podle toho
něčeho krát derivace toho něčeho podle t, konkrétně derivace tangenty θ
podle θ krát derivace θ podle t, a to je derivace
tangenty θ podle t. To je přesně ta derivace,
kterou jsme chtěli spočítat. Počítáme totiž derivaci
podle t, ne derivaci podle θ. Dobře, takže tohle
bude na levé straně. Na pravé straně bude
(1 lomeno 500) krát dh lomeno dt, což je tedy (1 lomeno 500)
krát derivace h podle t. Teď už máme vztah, který
nás celou dobu zajímal. Máme vztah mezi rychlostí, s jakou
se mění výška vzhledem k času, a rychlostí, s jakou se mění
velikost úhlu vzhledem k času, a naším úhlem
v libovolnou chvíli. Můžeme tedy vzít známé hodnoty, dosadit
je do rovnice a vyřešit pro naši neznámou. Tak si to
sem napišme. Máme (sekans θ) na druhou
a θ je teď π lomeno 4, tedy sekans na druhou
z (π lomeno 4)... Napíšu to stejnými barvami
jako hodnoty, které dosazuji. ..sekans na druhou z (π lomeno 4) krát
dθ lomeno dt, a to je 0,2, tedy krát 0,2. To se rovná
1 lomeno 500... Protože tady jsou radiány za minutu,
tak tohle bude v metrech za minutu. Toto je v metrech, takže tady
budou metry za minutu. To jen abychom si
ujasnili použité jednotky, protože abych ušetřil místo,
tak jsem je sem dolů nepsal. Máme (1 lomeno 500)
krát dh lomeno dt. Chceme spočítat dh lomeno dt,
takže vynásobíme 500 a dostaneme, že rychlost, s jakou se naše
výška mění, se rovná 500 krát... Sekans na druhou z (π lomeno 4) je 1
lomeno kosinus na druhou z (π lomeno 4), kosinus z (π lomeno 4) je
odmocnina ze 2 to celé lomeno 2, kosinus na druhou z (π lomeno 4) se tak
rovná 2 lomeno 4, což je jedna polovina. Sekans na druhou z (π lomeno 4)
je jen 1 lomeno tohle, takže to bude 2. Tohle se tedy rovná... Místo sekansu na druhou z (π lomeno 4) sem
můžeme napsat 2, takže krát 2 krát 0,2. Čemu se to
teď rovná? Bude to 500 krát 0,4,
což se rovná... Teď abych to
neměl špatně. Budou tam dvě nuly a pak jedna nula za
desetinnou čárkou, takže se to rovná 200. Rychlost, s jakou se v tuto chvíli
mění výška vzhledem k času, je 200 metrů za minutu. dh lomeno dt se rovná
200 metrů za minutu.