Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin: horkovzdušný balon

Sledujete přehlídku horkovzdušných balonů a zajímá vás, jak rychle stoupá jeden konkrétní balon. Víte několik věcí. Znáte přesné místo na zemi, z něhož balon vzlétl a které je přímo pod balonem, protože balon letí přímo vzhůru. Víte, protože jste si to změřili, že jste od tohoto místa vzdáleni 500 metrů. Dále jste byli schopni změřit úhel mezi touto úsečkou a balonem. Nejsem zrovna zeměměřič, ale asi to jde změřit pomocí hledáčku nebo tak. Takže jste změřili... Možná to není to pravé, ale jsou přístroje, pomocí nichž se změří úhel mezi vodorovnou přímkou a něčím, co na ní neleží. Víte tedy, že tento úhel má velikost π lomeno 4 radiánů, neboli 45 stupňů. Necháme tu π lomeno 4, protože když derivujeme goniometrické funkce, tak předpokládáme, že počítáme v radiánech. Takže tenhle úhel má velikost π lomeno 4 radiánů. Dále jste dokázali zjistit, jak rychle se tento úhel mění. Velikost tohoto úhlu se mění rychlostí 0,2 radiánu za minutu. Moje otázka pro vás, neboli otázka, která vás napadla při sledování balonu, je: Jak rychle teď balon stoupá? Jak rychle balon stoupá ve chvíli, kdy je úhel mezi vodorovnou úsečkou a úsečkou spojující vás a balon π lomeno 4, přičemž velikost tohoto úhlu se mění rychlostí 0,2 radiánu za minutu? Zamysleme se nad tím, co víme a co chceme zjistit. Víme několik věcí. Víme, že θ se rovná π lomeno 4, přičemž písmenem θ jsem označil tento úhel. Také víme, jak rychle se θ mění. Víme, že dθ... Udělám to žlutě. Víme, že dθ lomeno dt se rovná 0,2 radiánu za minutu. A co chceme zjistit? Chceme zjistit, jak rychle se mění výška balonu. Když si tuto vzdálenost označíme jako h, tak chceme spočítat dh lomeno dt. Tohle je to, co nevíme. Nyní budeme chtít najít nějaký vztah mezi dh lomeno dt, dθ lomeno dt a možná i θ, pokud to bude potřeba. Taky se na to lze dívat tak, že můžeme najít vztah mezi h a θ, tento vztah pak zderivovat podle t, čímž nejspíš dostaneme vztah mezi všemi těmito hodnotami. Jaký je tedy vztah mezi θ a h? Teď bude potřeba trocha trigonometrie. Zkusíme spočítat h, přičemž už víme, čemu se rovná tato vzdálenost. Protilehlá odvěsna ku přilehlé odvěsně je přesně definice tangensu úhlu. Zapišme si to. Víme, že tangens θ je protilehlá odvěsna, což je h, lomeno přilehlá odvěsna, o které víme, že bude stále rovna 500. Tohle je tedy vztah mezi θ a h. Abychom našli vztah mezi θ, dθ a dh lomeno d... dθ lomeno dt, tedy rychlostí změny θ vzhledem k t, a rychlostí změny h vzhledem k t. ...tak musíme implicitně zderivovat obě strany této rovnice podle t. Tak se na to podívejme. h lomeno 500 si trochu posunu, abych před to mohl napsat operátor derivace. Teď už derivujme podle t. Takže d lomeno dt... Uděláme derivaci levé strany podle t a derivaci pravé strany podle t. Čemu se rovná derivace tangens θ podle t? Na to použijeme derivaci složené funkce. Nejprve to bude derivace tangens θ podle θ, což je (sekans θ) na druhou, krát derivace θ podle t, tedy krát dθ lomeno dt. Jde o derivaci tangenty něčeho podle toho něčeho krát derivace toho něčeho podle t, konkrétně derivace tangenty θ podle θ krát derivace θ podle t, a to je derivace tangenty θ podle t. To je přesně ta derivace, kterou jsme chtěli spočítat. Počítáme totiž derivaci podle t, ne derivaci podle θ. Dobře, takže tohle bude na levé straně. Na pravé straně bude (1 lomeno 500) krát dh lomeno dt, což je tedy (1 lomeno 500) krát derivace h podle t. Teď už máme vztah, který nás celou dobu zajímal. Máme vztah mezi rychlostí, s jakou se mění výška vzhledem k času, a rychlostí, s jakou se mění velikost úhlu vzhledem k času, a naším úhlem v libovolnou chvíli. Můžeme tedy vzít známé hodnoty, dosadit je do rovnice a vyřešit pro naši neznámou. Tak si to sem napišme. Máme (sekans θ) na druhou a θ je teď π lomeno 4, tedy sekans na druhou z (π lomeno 4)... Napíšu to stejnými barvami jako hodnoty, které dosazuji. ..sekans na druhou z (π lomeno 4) krát dθ lomeno dt, a to je 0,2, tedy krát 0,2. To se rovná 1 lomeno 500... Protože tady jsou radiány za minutu, tak tohle bude v metrech za minutu. Toto je v metrech, takže tady budou metry za minutu. To jen abychom si ujasnili použité jednotky, protože abych ušetřil místo, tak jsem je sem dolů nepsal. Máme (1 lomeno 500) krát dh lomeno dt. Chceme spočítat dh lomeno dt, takže vynásobíme 500 a dostaneme, že rychlost, s jakou se naše výška mění, se rovná 500 krát... Sekans na druhou z (π lomeno 4) je 1 lomeno kosinus na druhou z (π lomeno 4), kosinus z (π lomeno 4) je odmocnina ze 2 to celé lomeno 2, kosinus na druhou z (π lomeno 4) se tak rovná 2 lomeno 4, což je jedna polovina. Sekans na druhou z (π lomeno 4) je jen 1 lomeno tohle, takže to bude 2. Tohle se tedy rovná... Místo sekansu na druhou z (π lomeno 4) sem můžeme napsat 2, takže krát 2 krát 0,2. Čemu se to teď rovná? Bude to 500 krát 0,4, což se rovná... Teď abych to neměl špatně. Budou tam dvě nuly a pak jedna nula za desetinnou čárkou, takže se to rovná 200. Rychlost, s jakou se v tuto chvíli mění výška vzhledem k času, je 200 metrů za minutu. dh lomeno dt se rovná 200 metrů za minutu.