Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin: Padající žebřík

Dostal jsem 10 stop vysoký žebřík, který je opřený o zeď. Ale stojí na velmi kluzkém povrchu a začíná sjíždět dolů. A zrovna v momentě, kdy se na něj díváme, je základna žebříku 8 stop od paty zdi. A sklouzává ode zdi rychlostí 4 stopy za sekundu. Budeme předpokládat, že vrchní část žebříku klouže podél zdi, zůstává s ní v kontaktu a klouže přímo dolů. Zde nahoře vidíme, že šipka se pohybuje směrem dolů. Naše otázka je: Jak rychle se vrch žebříku pohybuje směrem dolů v tuto chvíli? Trochu o tom popřemýšlejme. Co známe a co neznáme? Pokud nazveme vzdálenost mezi patou zdí a základnou žebříku ‚x‛. Víme, že právě teď je ‚x‛ rovno 8 stop. Také známe rychlost, jakou se mění ‚x‛ s ohledem na čas. Rychlost, jakou se mění x s časem, je 4 stopy za sekundu. Můžeme to nazvat dx/dt. Nyní nazvěme vzdálenost od vrchní části žebříku k základně žebříku ‚h‛. Nazvěme to ‚h‛. Co se skutečně snažíme zjistit, je dh/dt, protože známe ostatní informace. Uvidíme, jestli přijdeme na vztah mezi ‚x‛ a ‚h‛. Pak budeme derivovat podle času, použijeme asi pravidlo pro derivování složené funkce. Podívejme, jestli vyřešíme dh/dt, když známe všechny tyto informace. Známe vztah mezi ‚x‛ a ‚h‛ v celém časovém intervalu díky Pythagorově větě. Předpokládejme, že toto je pravý úhel. Víme, že (x na druhou) plus (h na druhou) bude rovno (délce žebříku na druhou), takže to bude rovno 100. A zajímá nás, jakou rychlostí se mění tato vzdálenost s časem. Zderivujeme obě strany podle času. Děláme částečně implicitní derivaci. Čemu je rovna derivace x na druhou podle času? Derivací x na druhou podle času je 2x. A vynásobíme to derivací x podle ‚t‛, čili dx/dt. Toto je pravidlo pro derivování složené funkce. Toto je derivace (x na druhou) podle x, což je 2x, krát dx/dt. Tím dostaneme derivaci x na druhou podle času. Pravidlo pro derivaci složené funkce. Podobně, jaká je derivace h na druhou podle času? Bude to 2h, derivace (h na druhou) podle ‚h‛ je 2h krát derivace h podle času. Toto je derivace (h na druhou) podle h krát derivace h podle času, což nám dá derivaci h na druhou podle času. A co dostaneme na pravé straně naší rovnice? Délka našeho žebříku se nemění. Tato hodnota 100 se nemění s časem. Derivace konstanty je rovna 0. A nyní to máme. Vztah mezi rychlostí změny ‚h‛ a časem. A pak, v daném bodě, když délka ‚x‛ je x a ‚h‛ je h. Ale víme, jaké je ‚h‛, když ‚x‛ je rovno 8 stop? Dokážeme to vypočítat. Když je ‚x‛ rovno 8 stop, můžeme znovu použít Pythagorovu větu. Dostaneme, že 8 stop na druhou plus h na druhou bude rovno 100. 8 na druhou je 64. Odečtením tohoto od obou stran dostanete, že h na druhou se rovná 36. Vezměte kladnou odmocninu, záporná odmocnina by nedávala smysl, protože potom by žebřík musel být pod zemí, někde pod povrchem. Dostaneme, že ‚h‛ se rovná 6. Toto je něco, co bylo v zadání. Nyní se podívejme na původní věc zde, víme, co je ‚x‛, a že bylo zadáno. Právě teď ‚x‛ je 8 stop. Známe rychlost změny ‚x‛ vzhledem k času, což jsou 4 stopy za sekundu. Víme, že ‚h‛ je právě teď 6. Můžeme tedy zjistit rychlost ‚h‛ vzhledem k času. Udělejme to. Dostaneme 2 krát 8 stop krát 4 stopy za sekundu, takže krát 4 plus 2h. To bude plus 2 krát naše výška právě teď, což je 6, krát rychlost, s jakou se mění naše výška s časem, je rovna 0. Takže dostaneme 2 krát 8 krát 4 je 64 plus 12 dh/dt je rovno 0. Můžeme odečíst 64 od obou stran a dostaneme 12. 12 krát derivace h vzhledem k času je rovna −64. A pak musíme obě strany vydělit 12. Za chvilku budeme mít výsledek. Derivace rychlosti změny ‚h‛ vzhledem k času je rovna −64 děleno 12. To je rovno −64 lomeno 12, což je stejné, jako −16 lomeno 3. Což je rovno... Přesunu se trochu více doprava. ...−5 a 1/3 stopy za sekundu. Jsme hotovi. Dává smysl, že jsme dostali zápornou hodnotu? Naše výška je klesající. Takže dává úplný smysl, že naše rychlost změny je záporná. A jsme hotovi.