Řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin: rovnice (goniometrická identita)

20metrový žebřík je opřený o zeď. Vzdálenost x(t) mezi patou žebříku a zdí se zvětšuje rychlostí 3 metry za minutu. V jistou chvíli t₀ byl vršek žebříku vzdálen y(t₀) rovná se 15 metrů od země. Jaká je rychlost změny velikosti úhlu θ(t) mezi zemí a žebříkem v tuto chvíli? Nejprve to nakreslím a pak si jako první krok rozmyslíme, která rovnice se nám může hodit k vyřešení této úlohy, načež díky ní úlohu skutečně vyřešíme. 20metrový žebřík je opřený o zeď. Nakreslím si sem tedy nějakou zeď. Tohle bude moje zeď. Nyní nakreslím náš 20metrový žebřík. Mohl by vypadat nějak takhle. Má délku 20 metrů. Dále říkají, že vzdálenost x(t) mezi patou žebříku a zdí, což je tato vzdálenost... Tato vzdálenost je x(t). V zadání máme, že se zvětšuje rychlostí 3 metry za minutu. Víme tedy, že... Můžeme říct, že x(t) s čárkou neboli dx lomeno dt se rovná 3 metry... Napíšu to celé, protože kdybych napsal m lomeno m, tak by to mohlo být matoucí. ...metry za minutu. Tohle tedy víme ze zadání. Rychlost změny x vzhledem k času známe ze zadání. V jistou chvíli t₀ byl vršek žebříku vzdálen 15 metrů... Vršek žebříku... Ujasněme si to. Tato vzdálenost je y(t). V zadání máme, že v čase t₀ se y(t) rovná 15 metrů. Zapíšu to. y(t₀) se rovná 15 metrů. Napíšu to ještě sem. Tohle bude hodnota y(t₀). Předpokládejme, že obrázek kreslíme pro čas t₀, protože myslím, že to nás bude zajímat. y(t₀) se rovná 15 metrů. Naším úkolem je zjistit, jaká je rychlost změny velikosti úhlu θ mezi zemí a žebříkem... Tohle nám říká, že θ se v průběhu času také mění, tedy že to je funkce času. ...mezi zemí a žebříkem v tuto chvíli. Úhel θ... Vezmu si na to novou barvu. θ je tento úhel. Toto je úhel θ, jehož velikost je také funkcí času. V úlohách na derivaci souvisejících veličin budeme vždy chtít udělat to, že najdeme nějakou algebraickou rovnici, která může občas obsahovat i goniometrické vzorečky a která dává do souvislosti veličiny, jež nás zajímají. Poté obě strany takové rovnice zderivujeme, čímž získáme vztah mezi rychlostmi změny našich veličin. Tak pojďme na to. Chceme znát rychlost změny velikosti úhlu mezi zemí a žebříkem v danou chvíli. Jinak řečeno chceme spočítat θ(t₀) s čárkou. Tohle máme spočítat. V zadání máme několik zajímavých informací. Víme, že rychlost změny x vzhledem k času je stále stejná, a to 3 metry za minutu. Dále víme, čemu se v danou chvíli rovná y. Podívejme se, zda dokážeme najít vztah... Protože nám zadali dx lomeno dt, tak by bylo výhodné najít vztah mezi x a θ, který bychom na obou stranách zderivovali, a pak možná použít tuto informaci k tomu, abychom zjistili, jaká je příslušná hodnota x nebo θ v zadanou chvíli. Tak to udělejme. Jak spolu souvisí x a θ? Teď využijeme naše znalosti trigonometrie. Délka přepony krát cos(θ) se rovná x. Zapíšu to. x(t) se rovná délka přepony, což je 20 metrů, protože taková je délka žebříku, krát cos(θ), což mohu napsat jako kosinus v bodě θ(t), aby bylo lépe vidět, že je to funkce času. Tohle plyne z našich znalostí trigonometrie, přesněji z definic základních goniometrických funkcí. Proč vám tvrdím, že tohle je nějak užitečné? Podívejme se, co se stane, když obě strany rovnice zderivujeme pomocí vzorce pro derivaci složené funkce. Na levé straně bude x(t) s čárkou, což se má rovnat... Co budeme mít na pravé straně? Podle vzorce pro derivaci složené funkce musíme nejdřív zderivovat tohle podle θ, což bude −20 krát sinus v bodě θ(t), a pak to musíme vynásobit θ(t) s čárkou. Teď si můžeme říct, že už víme, čemu se v bodě t₀ rovná x(t) s čárkou, a že bychom mohli zkusit zjistit, čemu se v tomto bodě rovná sinus θ(t), načež bychom z naší rovnice už vypočítali tohle. Pojďme to tak udělat. V bodě t rovná se t₀ máme... x(t) s čárkou je v každém čase rovno 3 metry za minutu. Předpokládáme, že rychlosti změny jsou v metrech za minutu a že vzdálenosti jsou v metrech a velikosti úhlů jsou v radiánech. V tomto bodě tak máme, že 3 se rovná: −20 krát sinus v bodě θ(t) krát derivace θ podle času. Jak zjistíme, čemu se rovná sinus v bodě θ(t)? Použijeme k tomu tuto informaci ze zadání. Sjedu trochu dolů, abych na to měl víc místa. Sinus θ... Napíšu to sem. Sinus θ v čase t₀, což je ten bod, který nás zajímá, bod t rovná se t₀, se rovná čemu? Sinus je délka protilehlé odvěsny lomeno délka přepony, což je y(t₀) lomeno délka přepony, což je 20 metrů, a to se rovná... V zadání máme, že y(t₀) je 15 metrů, což tady dělíme 20 metry. To je to samé co 3 lomeno 4. Díky této žluté zadané hodnotě tak víme, že tohle se rovná 3 lomeno 4. Zde tedy bude krát (3 lomeno 4) krát rychlost změny θ vzhledem k času. Teď už jen z rovnice spočítáme tohle a jsme hotoví. Bude to... Kolik je −20 krát (3 lomeno 4)? Je to −15. Když nyní obě strany rovnice vydělíme −15, dostaneme, že θ(t) s čárkou se rovná 3 lomeno −15, což je totéž jako minus (1 lomeno 5). Jednotkou budou radiány za minutu, protože všechny naše rychlosti změny jsou za minutu. Můžeme sem tedy napsat „radiánů za minutu“. V ideálním případě by to mělo být napsané tady. A je to. Spočítali jsme... Tohle je zajímavý příklad, protože nám něco řekli o ‚y‘, což jsme využili k výpočtu toho, kolik je sinus v bodě θ(t), ale rovnice, kterou jsme použili, obsahovala jenom x a θ.