Úvod do úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin

Řekněme, že máme bazén s vodou a do středu toho bazénu hodím kámen. Za chvíli se objeví malá vlnka, která se šíří paprsčitě od středu, kam jsem hodil kámen. Uvidím, jak to zvládnu nakreslit. Takže se pohybuje paprsčitě od středu. Toto je ta vlnka, která se utvořila tím, že jsem pustil kámen do vody. Takže je to kružnice se středem tam, kde kámen dopadl na hladinu. A řekněme, že zrovna teď je poloměr té kružnice roven 3 cm. Také víme, že se poloměr zvětšuje rychlostí 1 centimetrů za sekundu. Takže poloměr roste rychlostí 1 centimetr za sekundu. Takže máme-li toto dáno, naše "vlnokružnice" má poloměr 3 cm a víme, že poloměr roste rychlostí 1 centimetrů za sekundu. Toto dáno, jakou rychlostí roste plocha? Jak rychle roste obsah kruhu? Zajímavé. Zamysleme se, co známe a co neznáme, tedy co se snažíme zjistit. Nazveme-li tento poloměr 'r', víme, že teď je 'r' rovno 3 cm. Také známe rychlost, kterou 'r' roste v čase. Také známe tuto informaci, značíme ji dr/dt, tedy rychlost růstu poloměru v čase je 1 cm/s. Co teď potřebujeme zjistit? Ptají se na to, jakou rychlostí roste obsah toho kruhu. Potřebujeme zjistit, jakou rychlostí roste obsah toho kruhu, kde 'A' je obsah toho kruhu. To je to, co potřebujeme zjistit. Bylo by užitečné, kdybychom měli vztah mezi obsahem a poloměrem toho kruhu a možná vzít derivaci podle času. A budeme k tomu potřebovat pravidlo o derivaci složené funkci. Jaký je vztah mezi obsahem a poloměrem kruhu v libovolném čase? To známe ze základů geometrie. Obsah kruhu je roven π krát (poloměr kruhu na druhou). Teď potřebujeme zjistit rychlost, se kterou se obsah mění v čase. Takže proč nevzít derivaci obou stran podle času? Udělám si tu trochu prostoru. Vlastně přepíšu to, co jsem tu měl. Obsah je π krát (r na druhou). Vezmu derivaci obou stran podle času. Takže derivace podle času. Neberu derivaci podle 'r', beru derivaci podle času 't'. Na levé straně budu mít derivaci obsahu. Napíšu to zeleně. Budu tu mít derivaci obsahu podle času na levé straně. Co mám na pravé straně? Když beru derivaci konstanty krát něco, můžu vytknout tu konstantu před derivaci. Takže to udělám. π krát derivace podle času z (r na druhou). Trochu objasním, proč používám pravidlo pro derivaci složené funkce. Předpokládáme, že 'r' je funkcí času. Kdyby nebylo 'r' závislé na čase, ani obsah by nebyl. Takže místo psaní 'r' napíšu explicitně, že je to funkcí času. Napíšu r(t). Takže je to r(t), co mocníme na druhou. A chceme najít derivaci tohoto podle času. Tady prostě musíme použít pravidlo pro derivování složené funkci. Bereme derivaci něčeho na druhou podle toho něčeho. Derivace toho něčeho podle toho něčeho bude 2 krát to něco na prvou. Objasním to. Tohle je derivace r(t) na druhou podle r(t). Derivace něčeho na druhou podle toho něčeho. Kdyby to byla derivace (x na druhou) podle 'x', měli bychom 2x. Tohle byla derivace r(t) na druhou podle r(t), což je 2r(t). Ale to není derivace podle času, toto je derivace podle r(t). Derivace tohoto podle toho, na čem to závisí… Musíme to vynásobit rychlostí, kterou se r(t) mění v čase. Takže rychlost, kterou se r(t) mění v čase? To můžeme napsat jako dr/dt. To jsou shodné výrazy. A samozřejmě na začátku máme π. Chci zdůraznit, toto je jen pravidlo pro derivování složené funkce. Derivace něčeho na druhou podle času bude derivace něčeho na druhou dle toho něčeho, takže to je 2 krát to něco, krát derivace toho něčeho podle času. Musím to velmi zdůraznit. Co jsme tu udělali, to je pravidlo pro derivaci složené funkce. π krát toto je rovno derivaci obsahu podle času. Teď to celé zase přepíšu, aby se to trochu pročistilo. Derivace našeho obsahu podle času je π krát, vlastně vytknu 2. Je to rovno 2π krát, teď už to můžu nazývat jen 'r', Víme, že 'r' je funkcí 't'. Takže jen napíšu 2π krát 'r' krát dr/dt. To 'r' udělám modře. 2π krát 'r' krát dr/dt. Co všechno známe? Víme, kolik je 'r'. Víme, že 'r' v tomto čase je 3 cm. Teď je 'r' rovno 3 cm. Víme, že dr/dt je teď 1 cm/s. Víme, že je to 1 cm/s. Jaká tedy bude změna plochy kruhu? Bude to rovno… Udělám to stejnou zelenou. 2π krát 3 krát 1. To je fialová. Krát 1 cm/s. Ujistěme se, že máme správné jednotky. Máme cm krát cm, takže to bude centimetry… To je moc tmavé. ...cm krát cm, takže centimetry na druhou za sekundu. To jsou přesně ty jednotky, které chceme. Máme dA/dt rovno tomuto. Změna plochy vzhledem k času je rovna 6π (cm na druhou za sekundu). Ano, 2 krát 3 je 6. 6π centimetrů na druhou za sekundu je rychlost změny plochy kruhu. A jsme hotovi.