Úvod do derivování vzájemně souvisejících funkcí

Máme dáno, že diferencovatelné funkce x a y splňují následující rovnici: y rovná se odmocnina z x. Zajímavé je, že obě jsou to diferencovatelné funkce, dokonce i x, takže x je také funkce něčeho jiného. Dále tu máme, že derivace x podle t se rovná 12. Naším úkolem je spočítat derivaci y podle t, když je x rovno 9. Ujistěme se, že úloze dobře rozumíme. V zadání máme, že x i y jsou funkce. Zřejmě jde o funkce proměnné t. y je funkce x, ale x je funkce t, takže y je také funkce t. Můžeme se na to dívat třeba tak, že pokud se x rovná f(t), tak y je rovno odmocnině z x, tedy odmocnině z f(t). Lze na to nahlížet také tak, že když t dosadíme do funkce f, dostaneme x, které když dosadíme do funkce druhá odmocnina, tak budeme mít y. Na tohle celé se tedy můžeme dívat tak, že y je funkce t. Teď pojďme spočítat, co po nás chtějí. K výpočtu použijeme pravidlo pro derivaci složené funkce. Pravidlo pro derivaci složené funkce nám říká, že derivace y podle t se rovná (derivace y podle x) krát (derivace x podle t). Teď to použijme pro naše zadané funkce. Vyjde nám, že derivace y podle t se rovná derivaci y podle x... Jak tato derivace vypadá? y se rovná druhá odmocnina z x, což můžeme zapsat také tak, že y se rovná x na (1 lomeno 2). Nyní použijeme vzorec pro derivaci mocniny. Derivace y podle x se rovná (1 lomeno 2) krát x na minus (1 lomeno 2). Tak to sem napišme. (1 lomeno 2) krát x na minus (1 lomeno 2). Tohle teď musíme vynásobit derivací x podle t. Máme spočítat to, co tu mám napsané oranžově. Takové je zadání úlohy. Máme zadáno, že x se má rovnat 9 a že derivace x podle t je 12. Víme tak všechno potřebné k dokončení výpočtu. Výsledek bude (1 lomeno 2) krát 9 na minus (1 lomeno 2) krát (dx lomeno dt), přičemž derivace x podle t se rovná 12, takže zde bude krát 12. 9 na (1 lomeno 2) se rovná 3, takže 9 na minus (1 lomeno 2) se rovná 1 lomeno 3. Tohle je tedy 1 lomeno 3. Celý výraz se tak zjednoduší na... (1 lomeno 2) krát (1 lomeno 3) se rovná 1 lomeno 6, takže ve jmenovateli bude 6 a v čitateli bude 12. Vyšlo nám 12 lomeno 6. Derivace y podle t, když se x rovná 9 a derivace x podle t je 12, se rovná 2.