If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Úvod do derivování vzájemně souvisejících funkcí

Někdy máme rovnici, ve které se vyskytují různé funkce téže proměnné. Derivaci těchto funkcí podle této proměnné můžeme spočítat pomocí vzorce pro derivaci složené funkce.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Transkript

Máme dáno, že diferencovatelné funkce x a y splňují následující rovnici: y rovná se odmocnina z x. Zajímavé je, že obě jsou to diferencovatelné funkce, dokonce i x, takže x je také funkce něčeho jiného. Dále tu máme, že derivace x podle t se rovná 12. Naším úkolem je spočítat derivaci y podle t, když je x rovno 9. Ujistěme se, že úloze dobře rozumíme. V zadání máme, že x i y jsou funkce. Zřejmě jde o funkce proměnné t. y je funkce x, ale x je funkce t, takže y je také funkce t. Můžeme se na to dívat třeba tak, že pokud se x rovná f(t), tak y je rovno odmocnině z x, tedy odmocnině z f(t). Lze na to nahlížet také tak, že když t dosadíme do funkce f, dostaneme x, které když dosadíme do funkce druhá odmocnina, tak budeme mít y. Na tohle celé se tedy můžeme dívat tak, že y je funkce t. Teď pojďme spočítat, co po nás chtějí. K výpočtu použijeme pravidlo pro derivaci složené funkce. Pravidlo pro derivaci složené funkce nám říká, že derivace y podle t se rovná (derivace y podle x) krát (derivace x podle t). Teď to použijme pro naše zadané funkce. Vyjde nám, že derivace y podle t se rovná derivaci y podle x... Jak tato derivace vypadá? y se rovná druhá odmocnina z x, což můžeme zapsat také tak, že y se rovná x na (1 lomeno 2). Nyní použijeme vzorec pro derivaci mocniny. Derivace y podle x se rovná (1 lomeno 2) krát x na minus (1 lomeno 2). Tak to sem napišme. (1 lomeno 2) krát x na minus (1 lomeno 2). Tohle teď musíme vynásobit derivací x podle t. Máme spočítat to, co tu mám napsané oranžově. Takové je zadání úlohy. Máme zadáno, že x se má rovnat 9 a že derivace x podle t je 12. Víme tak všechno potřebné k dokončení výpočtu. Výsledek bude (1 lomeno 2) krát 9 na minus (1 lomeno 2) krát (dx lomeno dt), přičemž derivace x podle t se rovná 12, takže zde bude krát 12. 9 na (1 lomeno 2) se rovná 3, takže 9 na minus (1 lomeno 2) se rovná 1 lomeno 3. Tohle je tedy 1 lomeno 3. Celý výraz se tak zjednoduší na... (1 lomeno 2) krát (1 lomeno 3) se rovná 1 lomeno 6, takže ve jmenovateli bude 6 a v čitateli bude 12. Vyšlo nám 12 lomeno 6. Derivace y podle t, když se x rovná 9 a derivace x podle t je 12, se rovná 2.