Máme dáno, že diferencovatelné funkce
x a y splňují následující rovnici: y rovná se
odmocnina z x. Zajímavé je, že obě jsou to
diferencovatelné funkce, dokonce i x, takže x je
také funkce něčeho jiného. Dále tu máme, že derivace
x podle t se rovná 12. Naším úkolem je spočítat
derivaci y podle t, když je x rovno 9. Ujistěme se, že úloze
dobře rozumíme. V zadání máme,
že x i y jsou funkce. Zřejmě jde o funkce
proměnné t. y je funkce x,
ale x je funkce t, takže y je
také funkce t. Můžeme se na to dívat třeba tak,
že pokud se x rovná f(t), tak y je rovno odmocnině z x,
tedy odmocnině z f(t). Lze na to
nahlížet také tak, že když t dosadíme
do funkce f, dostaneme x, které když dosadíme do
funkce druhá odmocnina, tak budeme mít y. Na tohle celé se tedy můžeme
dívat tak, že y je funkce t. Teď pojďme spočítat,
co po nás chtějí. K výpočtu použijeme pravidlo
pro derivaci složené funkce. Pravidlo pro derivaci
složené funkce nám říká, že derivace y podle t se rovná (derivace
y podle x) krát (derivace x podle t). Teď to použijme pro
naše zadané funkce. Vyjde nám, že derivace y podle t
se rovná derivaci y podle x... Jak tato
derivace vypadá? y se rovná
druhá odmocnina z x, což můžeme zapsat také tak,
že y se rovná x na (1 lomeno 2). Nyní použijeme vzorec
pro derivaci mocniny. Derivace y podle x se rovná
(1 lomeno 2) krát x na minus (1 lomeno 2). Tak to sem
napišme. (1 lomeno 2) krát
x na minus (1 lomeno 2). Tohle teď musíme
vynásobit derivací x podle t. Máme spočítat to, co tu
mám napsané oranžově. Takové je
zadání úlohy. Máme zadáno, že x se má rovnat 9
a že derivace x podle t je 12. Víme tak všechno
potřebné k dokončení výpočtu. Výsledek bude (1 lomeno 2) krát 9 na
minus (1 lomeno 2) krát (dx lomeno dt), přičemž derivace x podle t se
rovná 12, takže zde bude krát 12. 9 na (1 lomeno 2)
se rovná 3, takže 9 na minus (1 lomeno 2)
se rovná 1 lomeno 3. Tohle je tedy
1 lomeno 3. Celý výraz se
tak zjednoduší na... (1 lomeno 2) krát (1 lomeno 3)
se rovná 1 lomeno 6, takže ve jmenovateli bude 6
a v čitateli bude 12. Vyšlo nám
12 lomeno 6. Derivace y podle t, když se x rovná 9
a derivace x podle t je 12, se rovná 2.