Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 4
Lekce 4: Úvod do řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin- Úvod do úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin
- Řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin
- Řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin: výrazy
- Řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin: výrazy
- Řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin: rovnice (Pythagorova věta)
- Řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin: rovnice (goniometrická identita)
- Řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin: rovnice
- Úvod do derivování vzájemně souvisejících funkcí
- Řešený příklad: derivování vzájemně souvisejících funkcí
- Derivování vzájemně souvisejících funkcí
Úvod do derivování vzájemně souvisejících funkcí
Někdy máme rovnici, ve které se vyskytují různé funkce téže proměnné. Derivaci těchto funkcí podle této proměnné můžeme spočítat pomocí vzorce pro derivaci složené funkce.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme dáno, že diferencovatelné funkce
x a y splňují následující rovnici: y rovná se
odmocnina z x. Zajímavé je, že obě jsou to
diferencovatelné funkce, dokonce i x, takže x je
také funkce něčeho jiného. Dále tu máme, že derivace
x podle t se rovná 12. Naším úkolem je spočítat
derivaci y podle t, když je x rovno 9. Ujistěme se, že úloze
dobře rozumíme. V zadání máme,
že x i y jsou funkce. Zřejmě jde o funkce
proměnné t. y je funkce x,
ale x je funkce t, takže y je
také funkce t. Můžeme se na to dívat třeba tak,
že pokud se x rovná f(t), tak y je rovno odmocnině z x,
tedy odmocnině z f(t). Lze na to
nahlížet také tak, že když t dosadíme
do funkce f, dostaneme x, které když dosadíme do
funkce druhá odmocnina, tak budeme mít y. Na tohle celé se tedy můžeme
dívat tak, že y je funkce t. Teď pojďme spočítat,
co po nás chtějí. K výpočtu použijeme pravidlo
pro derivaci složené funkce. Pravidlo pro derivaci
složené funkce nám říká, že derivace y podle t se rovná (derivace
y podle x) krát (derivace x podle t). Teď to použijme pro
naše zadané funkce. Vyjde nám, že derivace y podle t
se rovná derivaci y podle x... Jak tato
derivace vypadá? y se rovná
druhá odmocnina z x, což můžeme zapsat také tak,
že y se rovná x na (1 lomeno 2). Nyní použijeme vzorec
pro derivaci mocniny. Derivace y podle x se rovná
(1 lomeno 2) krát x na minus (1 lomeno 2). Tak to sem
napišme. (1 lomeno 2) krát
x na minus (1 lomeno 2). Tohle teď musíme
vynásobit derivací x podle t. Máme spočítat to, co tu
mám napsané oranžově. Takové je
zadání úlohy. Máme zadáno, že x se má rovnat 9
a že derivace x podle t je 12. Víme tak všechno
potřebné k dokončení výpočtu. Výsledek bude (1 lomeno 2) krát 9 na
minus (1 lomeno 2) krát (dx lomeno dt), přičemž derivace x podle t se
rovná 12, takže zde bude krát 12. 9 na (1 lomeno 2)
se rovná 3, takže 9 na minus (1 lomeno 2)
se rovná 1 lomeno 3. Tohle je tedy
1 lomeno 3. Celý výraz se
tak zjednoduší na... (1 lomeno 2) krát (1 lomeno 3)
se rovná 1 lomeno 6, takže ve jmenovateli bude 6
a v čitateli bude 12. Vyšlo nám
12 lomeno 6. Derivace y podle t, když se x rovná 9
a derivace x podle t je 12, se rovná 2.