Řešený příklad: derivování vzájemně souvisejících funkcí

Diferencovatelné funkce x a y splňují následující rovnici: sin(x) plus cos(y) se rovná odmocnina ze 2. Dále tu máme zadáno, že derivace x podle t se rovná 5. Naším úkolem je spočítat derivaci y podle t, když se y rovná π lomeno 4 a 0 je menší než x, které je menší než π lomeno 2. Vzhledem k tomu, že máme zadánu hodnotu derivace x podle t a naším úkolem je spočítat derivaci y podle t, tak můžeme předpokládat, že x a y jsou funkce proměnné t. Tuto rovnici bychom si tak mohli přepsat, a to jako sinus v bodě x, což je funkce proměnné t, plus kosinus v bodě y, což je funkce proměnné t, se rovná odmocnina ze 2. Tohle vás možná trochu mate, protože nejste zvyklí na to, že by x byla funkce nějaké třetí proměnné nebo že by y bylo funkcí něčeho jiného než x. x a y jsou ale zkrátka proměnné. Mohli bychom tu mít f(t) a g(t) namísto x(t) a y(t), což by vám možná přišlo přirozenější. Asi už je vám jasné, že když chceme spočítat dy lomeno dt, tak musíme obě strany této rovnice zderivovat podle t. Tak pojďme na to. Musíme zderivovat levou stranu, což bude derivace tohohle podle t plus derivace podle t z tohoto výrazu, a pak musíme zderivovat pravou stranu, což bude derivace téhle konstanty podle t. Podívejme se na tyto derivace jednu po druhé. Jak vypadá... Použiji na to jinou barvu. Jak vypadá tento světle modrý výraz? Jak to můžeme přepsat? Podle t tu derivujeme sinus něčeho, co je funkce proměnné t, takže použijeme pravidlo pro derivaci složené funkce. Nejprve spočítáme derivaci podle x ze sin(x). Mohl bych napsat sinus v bodě x(t), ale pro jednoduchost to stejně jako zde zapíšu jako sin(x). Tohle teď musíme vynásobit derivací vnitřní funkce podle t, tedy krát derivace x podle t. Toto se možná intuitivně rozchází s tím, jak jste doteď používali pravidlo pro derivaci složené funkce jen pro x a y, ale jen tu derivujeme vnější funkci, tedy sinus něčeho, podle toho něčeho, čímž je v tomhle případě x, a násobíme to derivací toho něčeho, tedy x, podle t. Totéž uděláme pro tento druhý výraz. Bude to derivace podle y z vnější funkce, tedy z cos(y), kterou musíme následně vynásobit derivací y podle t. Tohle celé se pak bude rovnat čemu? Derivace podle t z konstanty... Odmocnina ze 2 je konstanta, která se při měnícím se t nemění, takže její derivace, což je rychlost její změny, se rovná 0. Teď musíme spočítat všechno tohle. Derivace podle x ze sin(x) se rovná cos(x). Tohle násobíme derivací x podle t, což můžu napsat sem. Dále tu máme... Tady by mělo být znaménko plus. ...derivaci y podle t, takže plus derivace y podle t... Jen prohazuji pořadí v tomto součinu tak, aby tohle bylo jako první. Čemu se rovná derivace cos(y) podle y? Je to −sin(y). sin(y) napíšu sem a tady smažu plus a napíšu místo něj minus. Tohle celé se má rovnat 0. Co z toho teď dokážeme zjistit? V zadání máme, že derivace x podle t se rovná 5. Tady to máme napsané. Tohle se tudíž rovná 5. Naším úkolem je spočítat derivaci y podle t. Víme, čemu se rovná y, je to π lomeno 4. Tady máme, že y se rovná π lomeno 4, takže zde bude π lomeno 4. Pořád nám zbývá spočítat... Stále neznáme dvě věci. Nevíme, čemu se rovná x a čemu je rovna derivace y podle t. Tohle musíme spočítat. Čemu se rovná x, když y je π lomeno 4? Abychom to zjistili, vraťme se k naší původní rovnici. Když se y rovná π lomeno 4, dostaneme... Napíšu to sem. ...sin(x) plus cos(π lomeno 4) se rovná odmocnina ze 2. Kosinus v bodě (π lomeno 4)... Když si vzpomeneme na naši jednotkovou kružnici, tak jde o úhel v prvním kvadrantu, jehož velikost ve stupních je 45 stupňů, takže to bude odmocnina ze 2 vydělená 2. Odmocninu ze 2 vydělenou 2 teď můžeme odečíst od obou stran rovnice, čímž dostaneme, že sin(x) se rovná... Když od odmocniny ze 2 odečítáme odmocninu ze 2 vydělenou 2, tak odečítáme jednu její polovinu a zbyde nám její druhá polovina. Zde tedy bude odmocnina ze 2 vydělená 2. Pro které x platí, že sinus z něj... Nezapomeňme, že úhel má být v prvním kvadrantu. x je v tomto případě úhel. Bude to opět π lomeno 4. Z tohoto nám tedy plyne, že x se rovná π lomeno 4, když je y rovno π lomeno 4. Víme tak, že i zde bude π lomeno 4. Raději teď tento výraz celý přepíšu, protože už to začíná být nepřehledné. Víme, že 5 krát cos(π lomeno 4) minus (dy lomeno dt), tedy derivace y podle t, což je to, co chceme spočítat, krát sin(π lomeno 4) se rovná 0. Ještě sem dopíšu závorky, aby to bylo přehlednější. Teď už musíme použít jen trochu algebry. Už víme, že cos(π lomeno 4) je odmocnina ze 2 vydělená 2. sin(π lomeno 4) je také odmocnina ze 2 vydělená 2. Co kdybychom teď obě strany rovnice vydělili odmocninou ze 2 vydělenou 2? Co nám vyjde? (Odmocnina ze 2 vydělená 2) děleno (odmocnina ze 2 vydělená 2) se rovná 1. (Odmocnina ze 2 vydělená 2) děleno (odmocnina ze 2 vydělená 2) se rovná 1. 0 děleno (odmocnina ze 2 vydělená 2) bude pořád rovno 0. Rovnice se tak zjednoduší na 5 krát 1, což je 5, minus derivace y podle t se rovná 0. A už to máme. Když totiž k oběma stranám rovnice přičteme derivaci y podle t, tak dostaneme, že derivace y podle t se rovná 5. Je to za předpokladu, že platí všechny tyto podmínky, tedy když je derivace x podle t rovna 5 a když je derivace... A když se y rovná π lomeno 4.