Řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin: výrazy

Délka b(t) základny trojúhelníku se zmenšuje rychlostí 13 metrů za hodinu a výška h(t) tohoto trojúhelníku se zvětšuje rychlostí 6 metrů za hodinu. V jistou chvíli t₀ měla základna délku 5 metrů a výška byla 1 metr. Jaká byla rychlost změny obsahu A(t)... Obsah je tedy funkce proměnné t. Jaká je rychlost změny obsahu daného trojúhelníku v tuto chvíli? V tomto cvičení máme nejprve místo odpovědi na tuto otázku zjistit, jaké jsou jednotky několika různých výrazů a které hodnoty jsou zadané a které neznáme, což nám následně pomůže vyřešit tuto úlohu s rychlostí změny obsahu. Nejprve tedy udělejme tuto část. Ke každému výrazu máme přiřadit správnou jednotku. Jako vždy si zastavte video a zkuste to vyřešit sami. Prvním výrazem je b(t) s čárkou. To je rychlost změny délky základny vzhledem k času. Když se nad tím zamyslíme, tak b(t), tedy délka základny, bude v metrech. Jednotkou budou metry. Když máme b(t) s čárkou, tak nám to říká, jak rychle se délka základny mění vzhledem k času, takže jednotkou budou metry za... V zadání máme, že délka základny se zmenšuje rychlostí 13 metrů za hodinu, takže jednotkou budou metry za hodinu. b(t) s čárkou je tedy v metrech za hodinu. ‚A‘ v čase t₀. Vzpomeňme si, že A značí obsah našeho trojúhelníku. Ze zadání vidíme, že všechno měříme v metrech. Obsah je obecně v nějakých čtverečných jednotkách, takže v tomto případě to budou metry čtverečné. Výška v čase t₀. Délka základny i výška jsou nějaké délky, takže je budeme měřit v metrech. Výška v čase t₀ tak bude v metrech. Nakonec tu máme rychlost změny obsahu vzhledem k času. Už víme, že obsah je v metrech čtverečných, ale my teď máme rychlost změny obsahu vzhledem k času. Bude to tedy nějaký obsah za jednotku času, přičemž vidíme, že v zadání pro čas používáme hodiny. Jde tedy o obsah za jednotku času, takže půjde o metry čtverečné za hodinu. To je tato možnost. Jde totiž o obsah za jednotku času, přičemž pro délku používáme metry a pro čas hodiny. To bychom měli. Nyní máme ke každému výrazu přiřadit jeho zadanou hodnotu. Jaká je délka základny trojúhelníku v čase t₀? Máme ji v zadání? V zadání máme, že v jistou chvíli t₀ měla základna... Udělám to jinou barvou. ...v jistou chvíli t₀ měla základna délku 5 metrů. Říkají nám tedy, že délka základny v čase t₀... Délka základny je funkcí času. Říkají nám, že to je 5 metrů. A co rychlost změny délky základny vzhledem k času? Máme ji někde v zadání? Podívejme se sem. Jde o úplně první informaci, kterou jsme dostali. Délka b(t) základny trojúhelníku se zmenšuje rychlostí 13 metrů za hodinu. Rychlost změny délky základny, což je b(t) s čárkou neboli db lomeno dt, se podle zadání rovná... Víme, že délka základny se zmenšuje rychlostí 13 metrů za hodinu, takže to bude −13 metrů za hodinu. Rychlost změny délky základny vzhledem k času je tedy −13, tak to máme v zadání. Teď tu máme A(t₀) s čárkou, což je rychlost změny obsahu trojúhelníku v čase t₀. Najdeme to někde v zadání? Na tohle se nás v zadání ptají. Jaká je rychlost změny obsahu A(t) trojúhelníku v tuto chvíli? Tohle je to, co máme v této úloze spočítat. Tato hodnota však není dána, jinak by nebylo co řešit. Tato hodnota tedy není známa. Ve skutečnosti jde o to, co máme v této úloze spočítat. Nakonec tu máme změnu... Máme tu první derivaci výšky podle času. Můžeme si to napsat jako dh lomeno dt. Čemu se to rovná? Dostali jsme tuto informaci v zadání? Podívejme se sem. Máme tu napsáno, že výška trojúhelníku se zvětšuje rychlostí 6 metrů za hodinu. Když říkají, že h(t) se zvětšuje, tak to znamená, že rychlost změny h(t) vzhledem k času, což je h(t) s čárkou... Říkají nám, že se zvětšuje rychlostí 6 metrů za hodinu, takže to bude +6 metrů za hodinu. Tohle tedy máme v zadání. Proč je tohle všechno vůbec užitečné udělat? Protože teď už jsme dobře připraveni vyřešit zadanou úlohu. Když totiž máme libovolný trojúhelník, tak víme, že obsah se rovná (1 lomeno 2) krát délka základny krát výška. V naší úloze jsou obsah, délka základny i výška funkce proměnné t, takže můžeme napsat, že A(t) se rovná (1 lomeno 2) krát b(t) krát h(t). Chceme-li spočítat rychlost změny obsahu našeho trojúhelníku v danou chvíli, přičemž danou chvílí se myslí čas t₀, tak musíme obě strany této rovnice zderivovat podle t. Derivace levé strany podle t je A(t) s čárkou. Na pravé straně to bude (1 lomeno 2) krát... Nyní použijeme kombinaci... Vlastně půjde jen o pravidlo pro derivaci součinu. Derivace první funkce podle t, což je b(t) s čárkou, krát druhá funkce... Používám jenom pravidlo pro derivaci součinu. ...plus první funkce b(t) krát derivace druhé funkce podle času. Naším úkolem ale není najít obecný předpis, ale máme spočítat rychlost změny obsahu, což je A s čárkou, v danou chvíli, tedy v čase t₀. Máme tudíž spočítat A s čárkou v bodě t₀, což se rovná (1 lomeno 2) krát (b(t₀) s čárkou krát h(t₀) plus b(t₀) krát h(t₀) s čárkou). Tohle vypadá trochu strašidelně, ale ze zadání známe hodně těchto hodnot. Čemu se rovná b(t₀) s čárkou? V zadání máme rychlost změny ‚b‘ vzhledem k času, která je stále stejná, a to −13 metrů za hodinu, takže tohle už známe. Jaká je výška v čase t₀? To máme napsáno zde. V jistou chvíli t₀ měla základna délku 5 metrů a výška byla 1 metr. Odsud víme, kolik je b(t₀) a h(t₀). Tyhle dvě hodnoty tedy také známe. Jaká je rychlost změny výšky v čase t₀? V zadání máme, že výška trojúhelníku se zvětšuje rychlostí 6 metrů za hodinu. Tohle tudíž také známe. Všechno tohle známe, takže už stačí jen dosadit a vyjde vám, jaká je rychlost změny obsahu v čase t₀, tedy v zadanou chvíli.