Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 4
Lekce 4: Úvod do řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin- Úvod do úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin
- Řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin
- Řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin: výrazy
- Řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin: výrazy
- Řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin: rovnice (Pythagorova věta)
- Řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin: rovnice (goniometrická identita)
- Řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin: rovnice
- Úvod do derivování vzájemně souvisejících funkcí
- Řešený příklad: derivování vzájemně souvisejících funkcí
- Derivování vzájemně souvisejících funkcí
Řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin: výrazy
Když máme vyřešit nějakou úlohu na derivaci vzájemně souvisejících veličin, je nejlepší se jako první ujistit, že rozumíme všem veličinám v zadání.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Délka b(t) základny trojúhelníku se
zmenšuje rychlostí 13 metrů za hodinu a výška h(t) tohoto trojúhelníku
se zvětšuje rychlostí 6 metrů za hodinu. V jistou chvíli t₀ měla základna
délku 5 metrů a výška byla 1 metr. Jaká byla rychlost
změny obsahu A(t)... Obsah je tedy
funkce proměnné t. Jaká je rychlost změny obsahu
daného trojúhelníku v tuto chvíli? V tomto cvičení máme nejprve místo
odpovědi na tuto otázku zjistit, jaké jsou jednotky
několika různých výrazů a které hodnoty jsou
zadané a které neznáme, což nám následně pomůže vyřešit
tuto úlohu s rychlostí změny obsahu. Nejprve tedy
udělejme tuto část. Ke každému výrazu máme
přiřadit správnou jednotku. Jako vždy si zastavte video
a zkuste to vyřešit sami. Prvním výrazem
je b(t) s čárkou. To je rychlost změny délky
základny vzhledem k času. Když se nad tím zamyslíme, tak b(t),
tedy délka základny, bude v metrech. Jednotkou
budou metry. Když máme
b(t) s čárkou, tak nám to říká, jak rychle se délka
základny mění vzhledem k času, takže jednotkou
budou metry za... V zadání máme, že délka základny se
zmenšuje rychlostí 13 metrů za hodinu, takže jednotkou budou
metry za hodinu. b(t) s čárkou je tedy
v metrech za hodinu. ‚A‘ v čase t₀. Vzpomeňme si, že A značí
obsah našeho trojúhelníku. Ze zadání vidíme, že
všechno měříme v metrech. Obsah je obecně v nějakých
čtverečných jednotkách, takže v tomto případě
to budou metry čtverečné. Výška v čase t₀. Délka základny i výška
jsou nějaké délky, takže je budeme
měřit v metrech. Výška v čase t₀
tak bude v metrech. Nakonec tu máme rychlost
změny obsahu vzhledem k času. Už víme, že obsah je
v metrech čtverečných, ale my teď máme rychlost
změny obsahu vzhledem k času. Bude to tedy nějaký
obsah za jednotku času, přičemž vidíme, že v zadání
pro čas používáme hodiny. Jde tedy o obsah
za jednotku času, takže půjde o metry
čtverečné za hodinu. To je tato
možnost. Jde totiž o obsah
za jednotku času, přičemž pro délku používáme
metry a pro čas hodiny. To bychom měli. Nyní máme ke každému výrazu
přiřadit jeho zadanou hodnotu. Jaká je délka základny
trojúhelníku v čase t₀? Máme ji
v zadání? V zadání máme, že v jistou
chvíli t₀ měla základna... Udělám to
jinou barvou. ...v jistou chvíli t₀ měla
základna délku 5 metrů. Říkají nám tedy, že
délka základny v čase t₀... Délka základny
je funkcí času. Říkají nám, že
to je 5 metrů. A co rychlost změny délky
základny vzhledem k času? Máme ji někde
v zadání? Podívejme se sem. Jde o úplně první informaci,
kterou jsme dostali. Délka b(t) základny trojúhelníku se
zmenšuje rychlostí 13 metrů za hodinu. Rychlost změny délky základny, což
je b(t) s čárkou neboli db lomeno dt, se podle
zadání rovná... Víme, že délka základny se
zmenšuje rychlostí 13 metrů za hodinu, takže to bude
−13 metrů za hodinu. Rychlost změny délky základny
vzhledem k času je tedy −13, tak to máme
v zadání. Teď tu máme
A(t₀) s čárkou, což je rychlost změny
obsahu trojúhelníku v čase t₀. Najdeme to
někde v zadání? Na tohle se nás
v zadání ptají. Jaká je rychlost změny obsahu
A(t) trojúhelníku v tuto chvíli? Tohle je to, co máme
v této úloze spočítat. Tato hodnota však není dána,
jinak by nebylo co řešit. Tato hodnota tedy
není známa. Ve skutečnosti jde o to, co
máme v této úloze spočítat. Nakonec tu
máme změnu... Máme tu první derivaci
výšky podle času. Můžeme si to napsat
jako dh lomeno dt. Čemu se
to rovná? Dostali jsme tuto
informaci v zadání? Podívejme se sem. Máme tu napsáno, že výška trojúhelníku
se zvětšuje rychlostí 6 metrů za hodinu. Když říkají, že
h(t) se zvětšuje, tak to znamená, že rychlost
změny h(t) vzhledem k času, což je
h(t) s čárkou... Říkají nám, že se zvětšuje
rychlostí 6 metrů za hodinu, takže to bude
+6 metrů za hodinu. Tohle tedy
máme v zadání. Proč je tohle všechno
vůbec užitečné udělat? Protože teď už jsme dobře
připraveni vyřešit zadanou úlohu. Když totiž máme
libovolný trojúhelník, tak víme, že obsah se rovná (1 lomeno 2)
krát délka základny krát výška. V naší úloze jsou obsah, délka
základny i výška funkce proměnné t, takže můžeme napsat, že A(t) se
rovná (1 lomeno 2) krát b(t) krát h(t). Chceme-li spočítat rychlost změny obsahu
našeho trojúhelníku v danou chvíli, přičemž danou chvílí
se myslí čas t₀, tak musíme obě strany této
rovnice zderivovat podle t. Derivace levé strany
podle t je A(t) s čárkou. Na pravé straně to bude
(1 lomeno 2) krát... Nyní použijeme
kombinaci... Vlastně půjde jen o
pravidlo pro derivaci součinu. Derivace první funkce podle t, což
je b(t) s čárkou, krát druhá funkce... Používám jenom pravidlo
pro derivaci součinu. ...plus první funkce b(t) krát
derivace druhé funkce podle času. Naším úkolem ale není
najít obecný předpis, ale máme spočítat rychlost
změny obsahu, což je A s čárkou, v danou chvíli,
tedy v čase t₀. Máme tudíž spočítat
A s čárkou v bodě t₀, což se rovná (1 lomeno 2) krát
(b(t₀) s čárkou krát h(t₀) plus b(t₀) krát
h(t₀) s čárkou). Tohle vypadá
trochu strašidelně, ale ze zadání známe
hodně těchto hodnot. Čemu se rovná
b(t₀) s čárkou? V zadání máme rychlost
změny ‚b‘ vzhledem k času, která je stále stejná,
a to −13 metrů za hodinu, takže tohle
už známe. Jaká je výška
v čase t₀? To máme
napsáno zde. V jistou chvíli t₀ měla základna
délku 5 metrů a výška byla 1 metr. Odsud víme,
kolik je b(t₀) a h(t₀). Tyhle dvě hodnoty
tedy také známe. Jaká je rychlost změny
výšky v čase t₀? V zadání máme, že výška trojúhelníku
se zvětšuje rychlostí 6 metrů za hodinu. Tohle tudíž
také známe. Všechno tohle známe, takže už
stačí jen dosadit a vyjde vám, jaká je rychlost změny obsahu
v čase t₀, tedy v zadanou chvíli.