Řešení úloh na derivaci vzájemně souvisejících veličin: rovnice (Pythagorova věta)

Dvě auta přijíždí ke křižovatce z navzájem kolmých směrů. Rychlost prvního auta je 50 kilometrů za hodinu a rychlost druhého auta je 90 kilometrů za hodinu. V jistou chvíli t₀ bylo první auto vzdáleno x(t₀)... Bylo vzdáleno x(t₀) rovná se 0,5 kilometru od křižovatky a druhé auto bylo vzdáleno y(t₀) rovná se 1,2 kilometru od křižovatky. Jaká byla rychlost změny vzdálenosti d(t) mezi auty v tuto chvíli, tedy v čase t₀? Kterou rovnici bychom k vyřešení této úlohy měli použít? Máme tu na výběr čtyři rovnice. Můžete si zastavit video a zkusit to vyřešit sami, nebo se podívejte, jak bych to řešil já. Nakresleme si, co se tu děje, to je vždy užitečné. Dvě auta přijíždí ke křižovatce z navzájem kolmých směrů. Řekněme, že zde máme jedno auto, které jede ve směru osy x ke křižovatce, která je tady. Potom máme druhé auto, které jede ve směru osy y. Řekněme, že pojede takto. Zde je tedy druhé auto. Možná jsem to mohl nakreslit při pohledu seshora, ale to nevadí. Tento čtverec představuje auto, které jede tímto směrem. V zadání dále mluví o nějaké chvíli t₀, tak si tuto chvíli znázorníme. První auto je od křižovatky vzdáleno x(t₀), které se rovná 0,5 kilometru. Označme si tuto vzdálenost jako x(t) a tuhle vzdálenost označme jako y(t). Jak souvisí vzdálenost mezi auty s x(t) a y(t)? Můžeme použít vzorec pro výpočet vzdálenosti, což je v zásadě jen Pythagorova věta. Vzdálenost mezi auty je délka přepony tohoto pravoúhlého trojúhelníku. Vzpomeňme si, že auta jedou v navzájem kolmých směrech, takže to bude pravoúhlý trojúhelník. Tato vzdálenost tak bude x(t) na druhou plus y(t) na druhou, to celé pod odmocninou. To plyne z Pythagorovy věty. Tohle se rovná d(t). Můžeme také říci, že d(t) na druhou se rovná x(t) na druhou plus y... Mám tady příliš mnoho závorek. ...plus y(t) na druhou. Toto je vztah mezi d(t), x(t) a y(t), který se nám hodí k vyřešení téhle úlohy, protože teď můžeme obě strany této rovnice zderivovat podle t, k čemuž bychom použili několik pravidel derivování včetně pravidla pro derivaci složené funkce. Tím bychom dostali vztah mezi rychlostí změny d(t), což je d(t) s čárkou, a rychlostmi změny x(t) a y(t) a samotnými x(t) a y(t). Když se podíváme na nabízené možnosti, tak vidíme, že D je přesně ten vztah, který jsme tady použili a který říká, že vzdálenost mezi auty na druhou se rovná: vzdálenost x od křižovatky na druhou plus vzdálenost y od křižovatky na druhou. Obě strany téhle rovnice pak můžeme zderivovat, díky čemuž už vyřešíme tuto úlohu na derivaci vzájemně souvisejících veličin.