Aproximace pomocí tečny

Řekněme, že bychom chtěli odhadnout, čemu je rovna druhá odmocnina z 4,36. Zajímá nás tedy odhad tohoto, aniž bychom použili kalkulačku. Jeden pohled je, že víme, kolik je druhá odmocnina ze 4. Víme, že toto je plus 2. Odmocnina ze 4 je rovna 2. Takže toto bude o trochu více než 2. Řekněme, že chceme být trochu přesnější. V tomto videu vám tedy ukážu metodu, jak to udělat. Metodu, jak odhadnout hodnotu funkce poblíž bodu, jehož hodnotu už známe. Tedy co tím myslím. Představme si, že máme funkci f(x) je rovna druhé odmocnině z x. To je to samé jako x na jednu polovinu. My víme, čemu je rovno f(4). Víme, že f(4) je druhá odmocnina ze 4, tedy to bude rovno 2. A to, co chceme odhadnout, to, co chceme zjistit je, čemu je rovna druhá odmocnina z 4,36. Toto je jen jiný způsob formulování úplně stejné otázky, jakou jsme začali video. Představme si na chvíli naši funkci. Takže, nakreslím si osy souřadnic. Toto je osa y, toto je osa x. A pojďme nakreslit y je rovna f(x). Řekněme, že vypadá nějak takto. y je rovna f(x), vypadá nějak takto. Je to celkem poctivé. Toto zde, je y rovno f(x). Víme, že f(4) je rovno 2. Zde je x rovno 4, nenakreslil jsem to přesně v měřítku, ale věřím, že je to dostatečně jasné. Toto je tedy 2. To je f(4). A to, co se snažíme odhadnout, je f(4,36). Takže 4,36 bude přibližně zde. Chceme tedy odhadnout tuto hodnotu y. Toto odhadujeme, to je f(4,36). A předpokládáme, že nemáme po ruce kalkulačku. Jak to tedy můžeme udělat s využitím toho, co víme o derivacích? Co kdybychom zjistili rovnici tečny tohoto bodu. Tedy rovnici tečny, kde x je rovno 4. A potom použili tuto linearizaci k odhadu hodnoty v okolí. Tato technika se nazývá aproximace pomocí tečny. Naším úkolem tedy je zjistit, jaká je rovnice této přímky. Nazvěme ji L(x). Potom ji můžeme použít k určení hodnoty 4,36. A doufejme, že to bude snadnější, než výpočet tohoto zde. Jak to tedy můžeme udělat? Jeden způsob, jakým se na to můžeme podívat, je tento. L(x) bude f(4), tedy 2, plus sklon v bodě f(4). Což je samozřejmě derivace v f(4). To bude tedy sklon této přímky f'(4). Aby to bylo jasné, toto je sklon pro x rovno 4. Je to tedy sklon této přímky. A jakýkoli jiný bod na této přímce bude f(4) plus sklon křivky krát vzdálenost od bodu x rovno 4. Bude to tedy krát (x minus 4). Pojďme ověřit, že to dává smysl. Když sem dosadíme 4,36... Jen si přiblížím tento graf, aby to bylo jasnější. Přiblížím tuto oblast. Toto je tedy bod [4; f(4)]. Nakreslíme L(x). A tento bod zde je bod [4,36; f(4,36)]. A k tomu, abychom odhadli tuto hodnotu, potřebujeme zjistit tuto hodnotu zde. Tato hodnota bude [4,36; L(4,36)]. Tato přímka v bodě x je rovno 4,36. Čemu se toto bude rovnat? Pojďme sem dosadit. L(4,36) bude to f(4), tedy 2 plus derivace, sklon této přímky. Tedy plus derivace v f(4) krát x minus 4. Tedy 4,36 minus 4, to bude krát 0,36. To dává smysl. Začínali jsme v bodě 2. Změna hodnoty x je rovna 4,36. Změna hodnoty y tedy bude sklon přímky krát změna x, abychom dostali tuto hodnotu. Pojďme zjistit, čemu je roven tento výraz. Abychom to zjistili, potřebujeme vědět, čemu je rovna derivace f(4)... Pojďme zpět nahoru, abychom si to lépe představili. Derivace f v bodě x je jedna polovina x na minus jednu polovinu. Používám zde vzorec pro derivování mocniny. Tedy derivace f(4) je rovno jedné polovině krát 4 na minus jednu polovinu. Což je samozřejmě rovno jedna polovina krát jedna polovina. 4 na jednu polovinu jsou 2. 4 na minus jednu polovinu je rovno jedné polovině. Toto je tedy rovno jedné čtvrtině. Dostaneme tedy L v bodě 4,36 je rovno f(4) plus f s čárkou (4) krát (4,36 minus 4). Toto je vždy stejné. Kolik to tedy bude? Toto už víme, že jsou plus 2, toto už víme, že je jedna čtvrtina a tato část zde je 0,36. Toto celé tedy bude rovno 2 plus 1/4 krát 0,36. Tedy 0,09. Dostáváme tedy 2,09. Toto je proto náš odhad. Mělo by to být lehce nad skutečnou hodnotou druhé odmocniny z 4,36. Napišme to sem nahoru. Toto bude přibližně... Napíšu to raději sem. ...druhá odmocnina z 4,36, což je to samé jako f(4,36). Toto je přibližně 2,09. Řekněme, že jsme zrovna našli kalkulačku. Pojďme se, jen pro zajímavost, podívat, jak dobrý tento odhad je. Chceme spočítat druhou odmocninu z 4,36. A dostáváme 2,088. Když to tedy zaokrouhlíme na setiny, získali jsme velmi dobrý odhad. Přesně tak, jak jste viděli v tomto názorném grafu, náš odhad byl trošku vyšší než skutečná hodnota.