Aproximace pomocí tečny a diferencovatelnost

V tomto videu se podíváme na vztah mezi tím, kdy se funkce okolo bodu zdá být lineární, a diferencovatelností funkce v daném bodě. To, že funkce se okolo bodu zdá být lineární, znamená, že když si nějaký bod dostatečně přiblížíme, tak i nelineární funkce, která je v tomto bodě diferencovatelná, bude vypadat jako lineární funkce. Podívejme se na nějaké příklady. Řekněme, že máme funkci y rovná se x na druhou. Toto je její graf. Evidentně nejde o lineární funkci. Když si ale nějaký bod dostatečně přiblížíme, tak uvidíme, že funkce vypadá jako lineární. Přibližme si tedy třeba bod [1; 1]. Jak si čím dál tím víc přibližujeme bod [1; 1], vidíme, že funkce se okolo tohoto bodu zdá být lineární. To, že funkce okolo bodu vypadá jako lineární, je velmi užitečné, když chceme okolo daného bodu funkci aproximovat. Mohli bychom například spočítat derivaci v bodě [1; 1], což bude směrnice tečny, a následně najít rovnici tečny, kterou můžeme použít k aproximaci funkčních hodnot okolo bodu x rovno 1. Pro funkci jako y rovná se x na druhou to možná není třeba dělat, ale u složitějších funkcí to může být velmi užitečné. Hlavní je ale to, že funkce okolo bodu [1; 1] vypadá jako lineární a navíc je v tomto bodě diferencovatelná. Teď si ukažme příklad bodu, ve kterém funkce není diferencovatelná a okolo něhož funkce nevypadá jako lineární. Uvažme například funkci absolutní hodnota z ‚x‘. Ještě ji trochu posunu, aby se mi to tolik nekrylo s předchozím grafem. Funkce absolutní hodnota z (x minus 1) je diferencovatelná všude kromě této špičky, tedy všude kromě bodu [1; 0]. Pro všechna ostatní x jde o diferencovatelnou funkci, ale už jsme si dříve ukázali, že přímo v bodě x rovno 1 není diferencovatelná. Můžeme se také podívat, zda okolo tohoto bodu funkce vypadá jako lineární. Nedělám tu žádný formální důkaz, spíše chci, abyste získali nějakou intuici. Ať už se přiblížíme jak moc chceme, pořád vidíme tuto ostrou špičku. Bylo by velmi obtížné najít jedinečnou tečnu procházející bodem [1; 0]. Dokážeme totiž sestrojit dokonce nekonečně mnoho přímek, které prochází bodem [1; 0] a jinde už graf neprotínají. Zapamatujte si, že kdykoliv vidíte ostrou špičku, jako to vidíme u této absolutní hodnoty v bodě [1; 0], tak to je dobrý ukazatel toho, že funkce v daném bodě není diferencovatelná. Teď si to zase oddalme a podívejme se na další funkci. Podívejme se na funkci, která není diferencovatelná, ale ne proto, že by měla ostrou špičku, ale proto, že když si přiblížíme její graf, tak sice vypadá jako lineární, ale jako svislá přímka. Dobrým příkladem je funkce druhá odmocnina z řekněme (4 minus (x na druhou)). Jde o horní polovinu kružnice s poloměrem 2. Zaměřme se na bod [2; 0], protože funkce v tomto bodě není diferencovatelná, a když si graf dostatečně přiblížíme, tak vidíme, že graf funkce okolo bodu [2; 0] vypadá jako svislá přímka. Funkce tak v bodě [2; 0] není diferencovatelná. Rád bych teď zmínil, že u žádné z těchto funkcí nebylo třeba velkého přiblížení, abychom viděli, že naše funkce s absolutní hodnotou má špičku, nebo že v bodě [2; 0] či [−2; 0] se děje něco nezvyklého, takže zde funkce nejspíš nebude diferencovatelná. Existují ale i funkce, se kterými se v hodinách algebry nebo diferenciálního počtu běžně nesetkáme a které při pohledu z dálky vypadají, že mají ostrý roh, ale když si jejich graf přiblížíme, tak uvidíme, že vypadá jako lineární funkce, a navíc bude tato funkce v daném bodě diferencovatelná. Dobrým příkladem takové funkce je... Dám si tyhle funkce pryč, ať se mi tu nepletou při přibližování grafu. Řekněme, že y se rovná x na... Vyberu nějaký velký exponent. ...x na desátou. Už to trochu vypadá, že graf funkce má dole ostrý roh. Zkusme x na stou. Teď už to opravdu dole vypadá jako ostrý roh. Zkusme rovnou x na tisícou. Při tomto přiblížení to vypadá, že v bodě [1; 0] má funkce ostrý roh. Tato křivka však ve skutečnosti bodem [1; 0] neprochází. Když je totiž x rovno 1, y se rovná 1. Pokud si to nyní přiblížíme, tak uvidíme, že to, co vypadá jako ostrý roh, se zakřiví, což je dobře, protože tato funkce je diferencovatelná pro všechna x. Jde sice o trochu exotičtější funkci, než na jaké jsme zvyklí, ale když si to přiblížíme, tak to dobře uvidíme. Přibližme si tento na první pohled ostrý roh. Když si to dostatečně hodně přiblížíme, tak uvidíme, že náš ostrý roh se začíná zakřivovat. Když si to dostatečně přiblížíme, tak bude graf vypadat jako přímka. Těžko se tomu věří, když se díváme z dálky. Přibližuji si teď ten bod, který z dálky vypadal jako ostrý roh. Když si však tento bod přiblížíme, tak vidíme, že funkce se okolo něj zdá být lineární. Graf vypadá jako nějaká nesvislá přímka. Toto platí pro každý bod na křivce, takže funkce je všude diferencovatelná. Hlavní myšlenkou tedy je, že občas si graf musíte hodně přiblížit, k čemuž se pomůcky jako Desmos, který teď používám, velmi hodí. Nejde o žádný formální důkaz, ale chci, aby vám bylo intuitivně jasné, že když si graf funkce dostatečně přiblížíme a uvidíme, že vypadá víc a víc jako přímka, tak je to dobrý ukazatel toho, že funkce je diferencovatelná. Pokud si graf budete přibližovat a pořád uvidíte ostrý roh nebo pokud to po přiblížení vypadá, že tečna ke grafu je svislá, tak byste o diferencovatelnosti měli mít jisté pochyby.