Aproximace racionální funkce pomocí tečny

Občas se ocitneme v situaci, kdy máme nějakou funkci, v tomto případě jde o evidentně nelineární funkci f(x) rovná se 1 lomeno (x minus 1), jejíž graf, respektive jeho část, je zde, a chceme ji aproximovat nějakou lineární funkcí, zejména okolo nějakého konkrétního bodu. Chceme tedy nalézt aproximaci... Napíšu to. Chceme nalézt aproximaci... Ještě to upřesním. Chceme nalézt lineární aproximaci, což znamená, že chceme aproximovat přímkou. Chceme nalézt lineární aproximaci funkce f okolo... Musíme vědět, okolo kterého bodu funkci budeme aproximovat. ...okolo bodu x rovná se −1. Co tím přesně myslíme? Podívejme se na tento graf. Když je na této křivce x rovno −1, tak f(−1) se rovná minus (1 lomeno 2). Jde o tento bod. Zvýrazním to nějakou lepší barvou. Je to tento bod. Okolo tohoto bodu chceme zadanou křivku aproximovat pomocí přímky. Uděláme to tak, že funkci aproximujeme rovnicí tečny k jejímu grafu. Tato tečna bude vypadat nějak takhle. Vidíme, že jak jsme víc a víc vzdáleni od bodu x rovno −1, tak je tato aproximace čím dál tím horší, ale když jsme blízko bodu x rovno −1, tak je to vlastně ta nejlepší lineární aproximace, jakou můžeme vymyslet, nebo jde přinejmenším o velmi dobrou lineární aproximaci. Když tedy někdo řekne, ať najdete lineární aproximaci funkce f okolo bodu x rovná se −1, nebo když se někdo zeptá, která z daných možností je nejlepší aproximací, a na výběr budou jen přímky, tak po vás v podstatě chtějí, abyste našli rovnici tečny v bodě x rovno −1. Tak to pojďme udělat. Abychom našli rovnici tečny... Přímka má rovnici y rovná se ‚m‘ krát ‚x‘ plus ‚b‘, kde ‚m‘ je směrnice a ‚b‘ je y-ová souřadnice průsečíku s osou y. Mohli byste na to ale jít i jinak. Mohli byste hledat rovnici v rozšířeném směrnicovém tvaru, tedy ve tvaru y minus y-ová souřadnice nějakého bodu ležícího na přímce rovná se: směrnice krát (x minus příslušná x-ová souřadnice x₁). Bod [x₁; y₁] je tedy nějaký bod ležící na dané přímce. Tento rozšířený směrnicový tvar občas přepisuji takto: (y minus y₁) lomeno (x minus x₁) se rovná b. Tohle totiž pochází z toho, že pokud jsou x₁ a y₁ souřadnice bodu na přímce, tak směrnice úsečky spojující libovolný jiný bod na přímce a tento bod bude směrnice dané přímky. Můžeme na to jít kterýmkoliv z těchto způsobů. Nejprve určeme směrnici naší tečny. K tomu se nám bude hodit derivace. Tedy f... Zatím jen přepíšu předpis funkce f(x). Napíšu to jako (x minus 1) na minus prvou. Teď už jde lépe vidět, že můžeme použít pravidlo pro derivaci mocniny a pak vzorec pro derivaci složené funkce. Derivace funkce f podle x se rovná... Derivace z (x minus 1) umocněné na minus prvou podle (x minus 1) je... Když použijeme vzorec pro derivaci mocniny, tak to bude −1 krát (x minus 1) umocněné na minus druhou, což teď musíme vynásobit derivací (x minus 1) podle x, což je 1, že? Derivace x podle x je 1 a derivace −1 podle x je 0, takže sem můžeme napsat krát 1, pokud chceme. Nebo to tam ani psát nemusíme, protože to nijak nezmění hodnotu výrazu. Nyní derivaci vyčísleme v bodě x rovno −1. f s čárkou v bodě −1 se rovná... Můžu to napsat jen jako minus... Nebo raději jako −1 lomeno ((−1 minus 1) na druhou). Tady dole budeme mít −2, takže výsledek je minus (1 lomeno 4). Směrnice naší tečny je tedy... Mohu to napsat tak, že m se rovná minus (1 lomeno 4). Teď už jen zbývá napsat rovnici tečny. Už známe nějaký bod [x₁; y₁], který leží na této tečně. Použijeme bod s x-ovou souřadnicí −1. Víme, že bod [−1;... Můžeme dosadit přímo sem. f(−1) se rovná minus (1 lomeno 2), protože 1 lomeno (−1 minus 1) je minus (1 lomeno 2). Víme tedy, že bod [−1; −(1 lomeno 2)] leží na křivce i naší tečně k ní, protože jde o bod průniku křivky a její tečny. Nyní můžeme využít libovolný z těchto tvarů a napsat rovnici naší tečny. Můžeme napsat, že y... Napíšu to sem. ...y minus y₁, tedy y minus (−(1 lomeno 2)), se rovná směrnici, tedy minus (1 lomeno 4)... Používám rozšířený směrnicový tvar rovnice přímky. ...se rovná směrnici krát (x minus x₁), tedy x minus x-ová souřadnice známého bodu ležícího na přímce, což bude x minus −1. Teď to celé přepíšu nějakou jinou barvou. Bude to y plus (1 lomeno 2) se rovná... Tady to můžu napsat jako +1 a teď roznásobím číslem minus (1 lomeno 4). Vyjde mi minus (1 lomeno 4) krát x a pak minus (1 lomeno 4). Nyní mohu od obou stran odečíst 1 lomeno 2, díky čemuž dostanu, že y se rovná minus (1 lomeno 4) krát x a pak... Když tady odečítám 1 lomeno 4 a pak odečtu ještě 1 lomeno 2, tak to bude minus (3 lomeno 4). To je vlastně docela blízko tomu, co jsem tady namaloval. Osu y by tahle tečna měla protínat v bodě y rovná se minus (3 lomeno 4). A máme hotovo. Tato přímka, respektive tato rovnice, je velmi dobrou lineární aproximací, v podstatě nejlepší možnou lineární aproximací, pro naši nelineární funkci okolo bodu x rovno −1. Možná si říkáte, proč se prostě nezeptají na rovnici tečny v bodě x rovno −1. To by sice mohli, ale takhle nad tím musíte víc přemýšlet a říct si: „K aproximaci této funkce okolo bodu x rovno −1 můžu využít rovnici tečny.“