Řešený příklad: Aproximace pomocí tečny

f je dvakrát diferencovatelná funkce, pro kterou platí, že f(2) se rovná 1, f(2) s čárkou je rovno 4 a f(2) se dvěma čárkami je 3. Čemu se rovná aproximace hodnoty f(1,9), použijeme-li aproximaci pomocí tečny ke grafu funkce f v bodě x rovno 2? Zastavte si video a zkuste to sami vyřešit. Jde o otázku z poslední AP zkoušky z diferenciálního počtu. Teď to uděláme společně. Kdybych tohle dostal u zkoušky, tak bych neztrácel čas a spočítal bych rovnici tečny v bodě x rovno 2, která musí procházet bodem [2; 1], a pak bych spočítal, čemu se rovná y, když je x rovno 1,9, a to by byla moje aproximace. Abychom se to však lépe naučili a získali dobrou intuitivní představu, tak se nejdříve podívejme, co se tu děje. Nakreslím si sem graf. Řekněme, že tohle je osa y a že toto bude osa x. Zde bude bod x rovno 1, tady bod x rovno 2 a zde bude bod y rovná se 1. Víme, že bod [2; 1] leží na grafu funkce y rovná se f(x). Víme tedy, že tento bod leží na grafu naší funkce. Dále víme, jaká je směrnice tečny. Směrnice tečny je 4. Tečna tak bude vypadat nějak takto. Nejspíš to bude trochu strmější. Tečna bude vypadat nějak takto. O moc víc už toho nevíme. Ještě známe hodnotu druhé derivace. Naším úkolem je však bez toho, abychom věděli, jak funkce vypadá... Funkce by mohla vypadat třeba takhle. Nakreslím tu, co mě napadne. Funkce by mohla vypadat nějak takhle. Chceme zjistit, kolik je f(1,9). Když je x rovno 1,9, tak f(1,9), pokud by funkce vypadala takto, by byla tato hodnota. Tohle ale nevíme jistě, protože o grafu funkce nic víc nevíme. V zadání nám však říkají, abychom použili tuto tečnu. Pokud bychom znali rovnici této tečny, tak z ní můžeme spočítat, čemu se rovná y, když je x rovno 1,9. Když se x rovná 1,9, tak y bude tato hodnota, kterou můžeme vzít jako aproximaci pro f(1,9). Abychom tohle mohli udělat, tak potřebujeme znát rovnici této tečny. Tu můžeme hledat v rozšířeném směrnicovém tvaru, což bude y minus y-ová souřadnice nějakého známého bodu na této přímce. Zároveň také víme, že bod [2; 1] leží na této přímce, takže to bude y minus 1 se rovná směrnice naší tečny, což víme, že je 4, krát (x minus příslušná x-ová souřadnice, která odpovídá hodnotě y), tedy krát (x minus 2). Nyní už zbývá dosadit x rovná se 1,9 a dostaneme aproximaci hodnoty f(1,9). Tedy y minus 1 se rovná 4 krát (1,9 minus 2). 1,9 minus 2 se rovná −0,1 a 4 krát −0,1 se zjednoduší na −0,4. Když teď k oběma stranám přičteme 1, dostaneme, že y se rovná... Když tady přičteme 1, vyjde nám 0,6. Nenakreslil jsem to úplně ve stejném měřítku, takže 0,6 by bylo spíš někde tady. Toto je ale hledaná aproximace hodnoty f(1,9), takže vybereme B. A máme hotovo. Všimněte si, že jsme nepotřebovali použít všechny informace, které nám dali. K vyřešení úlohy nebylo třeba použít tuto informaci o druhé derivaci. Pokud se vám tedy něco takového stane, nenechte se tím příliš znejistit, protože vám občas mohou zadat nepotřebné informace navíc.