L'Hospitalovo pravidlo (složené exponenciální funkce)

V tomto videu bych chtěl probrat jednu velmi zajímavou limitu. Chtěl bych spočítat limitu pro x jdoucí k 0 zprava z funkce sin(x)… Teď přijde to zajímavé. ...sin(x) umocněný na (1 lomeno přirozený logaritmus z ‚x‘). Doporučuji vám si zastavit video a zkusit to vypočítat samostatně, i když víte, že to je trochu těžší příklad. Předpokládám, že jste to zkusili, někteří možná hned na první pokus úspěšně. Když jsem poprvé takovou limitu viděl já, tak jsem na ni na první pokus nepřišel, takže si z toho nic nedělejte, pokud vám to hned nešlo. Mnoho z vás si asi řeklo, že se podíváte na jednotlivé funkce v naší limitě. Když se podíváme na limitu pro x jdoucí k 0 zprava ze sin(x), tak je celkem jasné, že to bude prostě 0. Takže si řeknete, že tahle část se blíží k 0, ale pak řeknete… Limita pro x jdoucí k 0 zprava z 1 lomeno ln(x)… Proto to musí být limita zprava. Nedává zde totiž smysl blížit se zleva. Přirozený logaritmus ze záporného čísla není definovaný. Záporná čísla nejsou v jeho definičním oboru. Jak se ale k 0 čím dál tím víc blížíme zleva, tak přirozený logaritmus takových hodnot… Musíme umocnit ‚e‘ na více a více záporná čísla. Tato část se bude blížit k zápornému nekonečnu. 1 lomeno záporné nekonečno je 1 lomeno něčím super velkým, takže se to bude blížit k 0. Můžeme tedy říct, že tato limita je také rovna 0. To nám ale moc nepomůže, protože pokud jde toto k 0 a i tohle jde k 0, tak bychom si mohli říct, že to celé jde k 0 na nultou, ale my vlastně nevíme, kolik je 0… Zvýrazním to jinou barvou. 0 na nultou. Tohle je zrovna jeden ze zajímavých příkladů v matematice. Jsou důvody pro to, aby tohle bylo 0, ale taky aby to bylo 1, takže vlastně nevíme, kolik tenhle výraz je. Není to úplně uspokojivý výsledek. Teď by se vám v hlavě mohlo začít rozsvěcet menší světélko. Naučili jsme se novou věc nazývanou L'Hospitalovo pravidlo. Pokud jste o něm neslyšeli, tak doporučuji kouknout se na úvodní video k L'Hospitalovu pravidlu. L'Hospitalovo pravidlo… Napíšu to sem. ...L'Hospitalovo pravidlo nám pomáhá v situacích, kdy po přímém dosazení do limity získáme neurčitý výraz jako 0 lomeno 0 nebo dostaneme nekonečno lomeno nekonečnem nebo záporné nekonečno lomeno záporným nekonečnem. Pro více detailů se koukněte na úvodní video. Zde to docela vypadá... Dostaneme 0 na nultou. Dostaneme tuto příšeru, která nám trochu připomíná L'Hospitalovo pravidlo. Za chvilku uvidíme, že není špatně, že nás napadlo použít L'Hospitalovo pravidlo, přestože ho nemůžeme použít přímo teď. L'Hospitalovo pravidlo se nemůže přímo použít v případě 0 na nultou, ale můžeme vytvořit příklad, který L'Hospitalovým pravidlem půjde vyřešit, a výsledek tohoto příkladu použít k vyřešení našeho původního příkladu. Tohle bude nejtěžší část našeho příkladu. Jak to uděláme? Když položíme y rovno… Napíšu to spíš takto. Mohl bych napsat jen y, ale napíšu y jako funkci x. ...když položíme y(x) rovno sin(x) na (1 lomeno přirozený logaritmus z ‚x‘), tak toto bude limita pro x jdoucí k 0 zprava z ‚y‘, jejíž hodnotu zatím nevíme. Možná to je 0 na nultou, jenže my nevíme, kolik 0 na nultou vlastně je. Můžeme ale použít trik, který je poměrně častý. Kdykoliv dostaneme nějakou divnou věc s exponentem, ať už jde o limitu nebo derivaci, je užitečné na obě strany použít přirozený logaritmus. Co se stane, když uděláme přirozený logaritmus z obou stran? Na levé straně budeme mít přirozený logaritmus… Kdykoliv mám přirozený logaritmus nebo číslo e, tak to z nějakého záhadného důvodu píšu zelenou barvou. Přirozený logaritmus z ‚y‘ se rovná… Děláme přirozený logaritmus z tohoto… Vlastně bych nerad přeskočil nějaké kroky, protože tohle je zajímavé. Bude to přirozený logaritmus z tohoto všeho, tedy sin(x)… Napíšu to takto. ...sin(x)… Napíšu to oranžovou. Přirozený logaritmus ze sin(x) na (1 lomeno přirozený logaritmus z x). Z vlastností logaritmů víme, že logaritmus něčeho na nějakou mocninu je totéž jako ta mocnina, v našem případě 1 lomeno přirozený logaritmus z ‚x‘, krát logaritmus, v našem případě přirozený, ze sin(x). Můžeme tedy napsat, že přirozený logaritmus z ‚y‘... Chtěl bych ještě aspoň v jednom kroku mít stejné barvy. Přirozený logaritmus z ‚y‘ se rovná… Jen to přepíšu. Bude to přirozený logaritmus ze sin(x), to celé lomeno přirozený logaritmus z ‚x‘. Tohle všechno je sice poutavé, ale proč nás to má zajímat? Proč jsem tohle dělal? Místo toho, abychom počítali limitu pro x jdoucí k 0 zprava z ‚y‘, se zamysleme nad tím, k čemu se blíží přirozený logaritmus z ‚y‘, když se x blíží k 0 zprava. Spočítejme, jaká je limita z tohoto výrazu, když se ‚x‘ blíží k 0 zprava. K čemu se blíží přirozený logaritmus z ‚y‘, k čemu se celý tento výraz, ne y, ale k čemu se blíží přirozený logaritmus z ‚y‘? Zamysleme se nad tímto případem. Napíšu to jinou barvou. Chceme spočítat limitu pro x jdoucí k 0 zprava z tohoto výrazu. Napíšu to celé jednou barvou. Přirozený logaritmus ze sin(x), to celé lomeno přirozený logaritmus z ‚x‘. Nevím, proč jsem to jednou napsal normálně a pak kurzívou. Měl bych být konzistentní. Čím je tohle zajímavé? V čitateli se tento výraz bude blížit k 0 a přirozený logaritmus z 0 se blíží k zápornému nekonečnu. Tento přirozený logaritmus, když se blížíme zprava, se bude opět blížit k zápornému nekonečnu. Získali jsme tedy nedefinovaný výraz. Získali jsme nedefinovaný výraz záporné nekonečno lomeno záporné nekonečno, což je super, protože to znamená, že zde můžeme použít L'Hospitalovo pravidlo. Proto to bude rovno limitě pro x jdoucí k 0 zprava… Udělám si tady trochu víc místa. Udělám derivaci čitatele a pak derivaci jmenovatele. Na derivaci čitatele použiji pravidlo pro derivaci složené funkce. Derivace sin(x) je cos(x). Derivace přirozeného logaritmu ze sin(x) podle sin(x) je 1 lomeno sin(x). Tohle tedy bude lomeno sin(x). Tak vypadá derivace čitatele. Derivace jmenovatele bude 1 lomeno x. Toto je tudíž rovno limitě pro x jdoucí k 0 zprava z cos(x)… A teď když tohle dělím x... Když tady dělím x, dostanu x lomeno sin(x). Když teď do limity dosadím, dostanu 0 lomeno 0. To mě tedy zrovna dvakrát nepotěšilo. Můžu teď ale použít vlastnosti limit. Jak vidíte, není to zrovna nejlehčí příklad, ale tohle se bude rovnat... Je třeba v tom vidět určitý vzor. ...toto se rovná… Protože víme, že limita součinu dvou funkcí je součin jejich limit, tak to bude totéž jako limita pro x jdoucí k 0 zprava z… Vezmeme tuto část, takže tady bude x lomeno sin(x) a pak krát limita… Dám sem závorky. ...krát limita pro x jdoucí k 0 zprava z cos(x). Tahle limita je poměrně přímočará. Můžeme prostě dosadit 0 a dostaneme 1. Tahle limita je tedy rovna 1. A co tahle limita? Tohle vám možná připomíná limitu pro x jdoucí k 0 ze sin(x) lomeno x. Tohle je pouze převrácený zlomek. Tohle je x lomeno sin(x). Když zkusíte přímo dosadit, dostanete 0 lomeno 0, takže lze znovu použít L'Hospitalovo pravidlo. Jak už jsem řekl, jde o docela zajímavý příklad. Tohle se tedy rovná limitě pro x jdoucí k 0 zprava… Derivace nahoře je 1, derivace dole je cos(x), takže limita bude 1 lomeno cos(x) v bodě 0, což je 1, tedy i celá limita bude 1. Opět jsme použili L'Hospitalovo pravidlo a zjistili jsme, že limita bude rovna 1. 1 krát 1 je 1, takže tato limita je rovna 1, tudíž i tato limita je rovna 1, což znamená, že také tato limita se rovná 1. Co už teď víme? Zapíšu to. Víme, že limita přirozeného logaritmu z ‚y‘ pro x jdoucí k 0 zprava je rovna 1. Když se přirozený logaritmus z ‚y‘ blíží k 1, k čemu se musí blížit y? V případě přirozeného logaritmu… Už víme, že limita tohoto výrazu je 1 a že tento výraz je přirozený logaritmus z ‚y‘. Víme, že limita pro x jdoucí k 0 zprava z tohoto výrazu je 1 a že je to totéž jako limita pro x jdoucí k 0 zprava z přirozeného logaritmu z ‚y‘. Tyto limity si jsou rovny, obě jsou 1. Přirozený logaritmus z ‚y‘ se blíží k 1. Pokud se přirozený logaritmus z ‚y‘ blíží… Napíšu to takto. Když se přirozený logaritmus z ‚y‘ blíží k 1, k čemu se musí blížit y? Aby byl přirozený logaritmus něčeho roven 1, tak se y musí blížit k e, protože přirozený logaritmus z ‚e‘ je 1. Takže y se musí blížit k ‚e‘ a my jsme hotovi, protože to je to, co nás zajímalo. Zajímalo nás... Co je y? y je tohle, tohle celé jsme označili jako y. Zajímalo nás, k čemu se y blíží, když se x blíží k 0 zprava. Přišli jsme na to, že přirozený logaritmus z ‚y‘ se blíží k 1, když se x blíží k 0 zprava, což znamená, že y se musí blížit k ‚e‘, tedy že tato limita je rovna ‚e‘, což je fascinující. Už dříve jsme viděli, že ‚e‘ se občas objeví. Tady máme sin(x) a samozřejmě také přirozený logaritmus z ‚x‘, takže dává smysl, že v řešení je někde ‚e‘, ale stejně mě to stále fascinuje.