Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 4
Lekce 8: L'Hospitalovo pravidlo: složené exponenciální funkceL'Hospitalovo pravidlo (složené exponenciální funkce)
Pomocí L'Hospitalova pravidla spočítáme limitu pro x blížící se k 0 z (sin(x))^(1/ln(x)).
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu bych chtěl probrat
jednu velmi zajímavou limitu. Chtěl bych spočítat limitu pro x jdoucí
k 0 zprava z funkce sin(x)… Teď přijde
to zajímavé. ...sin(x) umocněný na
(1 lomeno přirozený logaritmus z ‚x‘). Doporučuji vám si zastavit video
a zkusit to vypočítat samostatně, i když víte, že to je
trochu těžší příklad. Předpokládám, že jste to zkusili, někteří
možná hned na první pokus úspěšně. Když jsem poprvé takovou limitu viděl já,
tak jsem na ni na první pokus nepřišel, takže si z toho nic nedělejte,
pokud vám to hned nešlo. Mnoho z vás si asi řeklo, že se podíváte
na jednotlivé funkce v naší limitě. Když se podíváme na limitu
pro x jdoucí k 0 zprava ze sin(x), tak je celkem jasné,
že to bude prostě 0. Takže si řeknete, že tahle část
se blíží k 0, ale pak řeknete… Limita pro x jdoucí k 0
zprava z 1 lomeno ln(x)… Proto to musí
být limita zprava. Nedává zde totiž smysl
blížit se zleva. Přirozený logaritmus ze
záporného čísla není definovaný. Záporná čísla nejsou
v jeho definičním oboru. Jak se ale k 0 čím dál
tím víc blížíme zleva, tak přirozený logaritmus
takových hodnot… Musíme umocnit ‚e‘ na
více a více záporná čísla. Tato část se bude blížit
k zápornému nekonečnu. 1 lomeno záporné nekonečno je
1 lomeno něčím super velkým, takže se to
bude blížit k 0. Můžeme tedy říct, že
tato limita je také rovna 0. To nám ale moc nepomůže, protože
pokud jde toto k 0 a i tohle jde k 0, tak bychom si mohli říct,
že to celé jde k 0 na nultou, ale my vlastně
nevíme, kolik je 0… Zvýrazním to
jinou barvou. 0 na nultou. Tohle je zrovna jeden ze zajímavých
příkladů v matematice. Jsou důvody pro to,
aby tohle bylo 0, ale taky aby to bylo 1, takže vlastně nevíme,
kolik tenhle výraz je. Není to úplně
uspokojivý výsledek. Teď by se vám v hlavě mohlo
začít rozsvěcet menší světélko. Naučili jsme se novou věc
nazývanou L'Hospitalovo pravidlo. Pokud jste o
něm neslyšeli, tak doporučuji kouknout se na
úvodní video k L'Hospitalovu pravidlu. L'Hospitalovo pravidlo… Napíšu to sem. ...L'Hospitalovo pravidlo
nám pomáhá v situacích, kdy po přímém dosazení do limity
získáme neurčitý výraz jako 0 lomeno 0 nebo dostaneme
nekonečno lomeno nekonečnem nebo záporné nekonečno lomeno
záporným nekonečnem. Pro více detailů se
koukněte na úvodní video. Zde to docela
vypadá... Dostaneme
0 na nultou. Dostaneme tuto příšeru, která nám trochu
připomíná L'Hospitalovo pravidlo. Za chvilku uvidíme,
že není špatně, že nás napadlo použít
L'Hospitalovo pravidlo, přestože ho nemůžeme
použít přímo teď. L'Hospitalovo pravidlo se nemůže
přímo použít v případě 0 na nultou, ale můžeme vytvořit příklad, který
L'Hospitalovým pravidlem půjde vyřešit, a výsledek tohoto příkladu použít
k vyřešení našeho původního příkladu. Tohle bude nejtěžší
část našeho příkladu. Jak to uděláme? Když položíme
y rovno… Napíšu to
spíš takto. Mohl bych napsat jen y,
ale napíšu y jako funkci x. ...když položíme y(x) rovno sin(x) na
(1 lomeno přirozený logaritmus z ‚x‘), tak toto bude limita
pro x jdoucí k 0 zprava z ‚y‘, jejíž hodnotu
zatím nevíme. Možná to je 0 na nultou, jenže
my nevíme, kolik 0 na nultou vlastně je. Můžeme ale použít trik,
který je poměrně častý. Kdykoliv dostaneme nějakou
divnou věc s exponentem, ať už jde o limitu
nebo derivaci, je užitečné na obě strany použít
přirozený logaritmus. Co se stane, když uděláme
přirozený logaritmus z obou stran? Na levé straně budeme mít
přirozený logaritmus… Kdykoliv mám přirozený
logaritmus nebo číslo e, tak to z nějakého záhadného
důvodu píšu zelenou barvou. Přirozený logaritmus z ‚y‘
se rovná… Děláme přirozený
logaritmus z tohoto… Vlastně bych nerad přeskočil
nějaké kroky, protože tohle je zajímavé. Bude to přirozený logaritmus
z tohoto všeho, tedy sin(x)… Napíšu to takto. ...sin(x)… Napíšu to oranžovou. Přirozený logaritmus ze sin(x) na
(1 lomeno přirozený logaritmus z x). Z vlastností
logaritmů víme, že logaritmus něčeho na nějakou mocninu
je totéž jako ta mocnina, v našem případě
1 lomeno přirozený logaritmus z ‚x‘, krát logaritmus, v našem
případě přirozený, ze sin(x). Můžeme tedy napsat, že
přirozený logaritmus z ‚y‘... Chtěl bych ještě aspoň v jednom
kroku mít stejné barvy. Přirozený logaritmus
z ‚y‘ se rovná… Jen to přepíšu. Bude to přirozený logaritmus ze sin(x),
to celé lomeno přirozený logaritmus z ‚x‘. Tohle všechno je sice poutavé,
ale proč nás to má zajímat? Proč jsem
tohle dělal? Místo toho, abychom počítali limitu
pro x jdoucí k 0 zprava z ‚y‘, se zamysleme nad tím, k čemu se
blíží přirozený logaritmus z ‚y‘, když se x
blíží k 0 zprava. Spočítejme, jaká je limita z tohoto
výrazu, když se ‚x‘ blíží k 0 zprava. K čemu se blíží přirozený
logaritmus z ‚y‘, k čemu se celý
tento výraz, ne y, ale k čemu se blíží
přirozený logaritmus z ‚y‘? Zamysleme se nad
tímto případem. Napíšu to
jinou barvou. Chceme spočítat limitu pro x jdoucí k 0
zprava z tohoto výrazu. Napíšu to celé
jednou barvou. Přirozený logaritmus ze sin(x),
to celé lomeno přirozený logaritmus z ‚x‘. Nevím, proč jsem to jednou
napsal normálně a pak kurzívou. Měl bych
být konzistentní. Čím je
tohle zajímavé? V čitateli se tento výraz
bude blížit k 0 a přirozený logaritmus z 0
se blíží k zápornému nekonečnu. Tento přirozený logaritmus,
když se blížíme zprava, se bude opět blížit
k zápornému nekonečnu. Získali jsme tedy
nedefinovaný výraz. Získali jsme nedefinovaný výraz záporné
nekonečno lomeno záporné nekonečno, což je super, protože to znamená, že zde
můžeme použít L'Hospitalovo pravidlo. Proto to bude rovno
limitě pro x jdoucí k 0 zprava… Udělám si tady
trochu víc místa. Udělám derivaci čitatele
a pak derivaci jmenovatele. Na derivaci čitatele použiji
pravidlo pro derivaci složené funkce. Derivace sin(x) je cos(x). Derivace přirozeného logaritmu ze sin(x)
podle sin(x) je 1 lomeno sin(x). Tohle tedy bude
lomeno sin(x). Tak vypadá
derivace čitatele. Derivace jmenovatele
bude 1 lomeno x. Toto je tudíž rovno limitě pro x
jdoucí k 0 zprava z cos(x)… A teď když
tohle dělím x... Když tady dělím x,
dostanu x lomeno sin(x). Když teď do limity dosadím,
dostanu 0 lomeno 0. To mě tedy zrovna
dvakrát nepotěšilo. Můžu teď ale
použít vlastnosti limit. Jak vidíte, není to
zrovna nejlehčí příklad, ale tohle se
bude rovnat... Je třeba v tom
vidět určitý vzor. ...toto se rovná… Protože víme, že limita součinu
dvou funkcí je součin jejich limit, tak to bude totéž jako limita
pro x jdoucí k 0 zprava z… Vezmeme tuto část, takže tady bude
x lomeno sin(x) a pak krát limita… Dám sem závorky. ...krát limita pro x jdoucí
k 0 zprava z cos(x). Tahle limita je
poměrně přímočará. Můžeme prostě dosadit 0
a dostaneme 1. Tahle limita je
tedy rovna 1. A co tahle
limita? Tohle vám možná připomíná limitu
pro x jdoucí k 0 ze sin(x) lomeno x. Tohle je pouze
převrácený zlomek. Tohle je
x lomeno sin(x). Když zkusíte
přímo dosadit, dostanete 0 lomeno 0, takže
lze znovu použít L'Hospitalovo pravidlo. Jak už jsem řekl, jde o
docela zajímavý příklad. Tohle se tedy rovná
limitě pro x jdoucí k 0 zprava… Derivace nahoře je 1,
derivace dole je cos(x), takže limita bude 1
lomeno cos(x) v bodě 0, což je 1, tedy i celá
limita bude 1. Opět jsme použili L'Hospitalovo pravidlo
a zjistili jsme, že limita bude rovna 1. 1 krát 1 je 1, takže
tato limita je rovna 1, tudíž i tato
limita je rovna 1, což znamená, že také
tato limita se rovná 1. Co už
teď víme? Zapíšu to. Víme, že limita přirozeného logaritmu
z ‚y‘ pro x jdoucí k 0 zprava je rovna 1. Když se přirozený logaritmus z ‚y‘ blíží
k 1, k čemu se musí blížit y? V případě
přirozeného logaritmu… Už víme, že limita tohoto výrazu je 1 a že
tento výraz je přirozený logaritmus z ‚y‘. Víme, že limita pro x jdoucí k 0
zprava z tohoto výrazu je 1 a že je to totéž jako limita pro x jdoucí
k 0 zprava z přirozeného logaritmu z ‚y‘. Tyto limity si jsou
rovny, obě jsou 1. Přirozený logaritmus z ‚y‘
se blíží k 1. Pokud se přirozený
logaritmus z ‚y‘ blíží… Napíšu to takto. Když se přirozený
logaritmus z ‚y‘ blíží k 1, k čemu se
musí blížit y? Aby byl přirozený logaritmus něčeho
roven 1, tak se y musí blížit k e, protože přirozený
logaritmus z ‚e‘ je 1. Takže y se musí blížit k ‚e‘ a my jsme
hotovi, protože to je to, co nás zajímalo. Zajímalo nás... Co je y? y je tohle, tohle
celé jsme označili jako y. Zajímalo nás, k čemu se y blíží,
když se x blíží k 0 zprava. Přišli jsme na to, že přirozený
logaritmus z ‚y‘ se blíží k 1, když se x blíží
k 0 zprava, což znamená, že
y se musí blížit k ‚e‘, tedy že tato limita
je rovna ‚e‘, což je fascinující. Už dříve jsme viděli,
že ‚e‘ se občas objeví. Tady máme sin(x) a samozřejmě
také přirozený logaritmus z ‚x‘, takže dává smysl,
že v řešení je někde ‚e‘, ale stejně mě
to stále fascinuje.