If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Opakování L'Hospitalova pravidla

L'Hospitalovo pravidlo nám pomáhá spočítat limity, u kterých po přímém dosazení hodnoty dostaneme neurčitý výraz 0/0 nebo ∞/∞. Zopakujme si, jak (a kdy) se používá.

Co je L'Hospitalovo pravidlo?

L'Hospitalovo pravidlo nám pomáhá spočítat limity, u kterých po přímém dosazení hodnoty dostaneme neurčitý výraz 00 nebo .
Jinými slovy nám toto pravidlo pomáhá spočítat limxcu(x)v(x), kde limxcu(x)=limxcv(x)=0 (nebo když jsou obě limity ±).
L'Hospitalovo pravidlo v zásadě říká, že pokud limita limxcu(x)v(x) existuje, pak jsou si následující dvě limity rovny:
limxcu(x)v(x)=limxcu(x)v(x)
Chceš se o L'Hospitalově pravidle naučit víc? Koukni se na toto video.

Použití L'Hospitalova pravidla k výpočtu limity podílu

Zkusme si například spočítat limx07xsin(x)x2+sin(3x).
Když do výrazu 7xsin(x)x2+sin(3x) dosadíme x=0, dostaneme neurčitý výraz 00. Použijme tedy L'Hospitalovo pravidlo.
=limx07xsin(x)x2+sin(3x)=limx0ddx[7xsin(x)]ddx[x2+sin(3x)]L’Hospitalovo pravidlo=limx07cos(x)2x+3cos(3x)=7cos(0)2(0)+3cos(30)Dosazení hodnoty=2
Všimni si, že L'Hospitalovo pravidlo jsme mohli použít, protože limx0ddx[7xsin(x)]ddx[x2+sin(3x)] skutečně existuje.
Příklad 1.1
limx0ex12x=?
Vyber 1 odpověď:

Chceš si zkusit víc takových příkladů? Podívej se na toto cvičení.

Použití L'Hospitalova pravidla k výpočtu limit složených exponenciálních funkcí

Zkusme spočítat limitu limx0(1+2x)1sin(x). Když do výrazu dosadíme x=0, dostaneme neurčitý výraz 1.
Aby se nám s tímto výrazem lépe pracovalo, uvažujme jeho přirozený logaritmus (tohle je častý trik při počítání se složenými exponenciálními funkcemi). Jinak řečeno, označme si y=(1+2x)1sin(x) a spočítejme limx0ln(y). Když už tuto limitu budeme znát, budeme schopni spočítat i limitu limx0y.
ln(y)=ln(1+2x)sin(x)
Když do výrazu ln(1+2x)sin(x) dosadíme x=0, dostaneme neurčitý výraz 00, a proto teď můžeme použít L'Hospitalovo pravidlo!
=limx0ln(y)=limx0ln(1+2x)sin(x)=limx0ddx[ln(1+2x)]ddx[sin(x)]L’Hospitalovo pravidlo=limx0(21+2x)cos(x)=(21)1Dosazení hodnoty=2
Zjistili jsme, že limx0ln(y)=2, což znamená, že limx0y=e2.
Příklad 2.1
limx0[cos(2πx)]1x=?
Vyber 1 odpověď:

Chceš si vyzkoušet víc takových příkladů? Zkus toto cvičení.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.