Opakování L'Hospitalova pravidla

L'Hospitalovo pravidlo nám pomáhá spočítat limity, u kterých po přímém dosazení hodnoty dostaneme neurčitý výraz $\dfrac{0}{0}$start fraction, 0, divided by, 0, end fraction nebo $\dfrac{\infty}{\infty}$start fraction, infinity, divided by, infinity, end fraction.

Jinými slovy nám toto pravidlo pomáhá spočítat $\displaystyle\lim_{x\to c}\dfrac{u(x)}{v(x)}$limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, start fraction, u, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, v, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, kde $\displaystyle\lim_{x\to c}u(x)=\lim_{x\to c}v(x)=0$limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, v, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 (nebo když jsou obě limity $\pm\infty$plus minus, infinity).

L'Hospitalovo pravidlo v zásadě říká, že pokud limita $\displaystyle\lim_{x\to c}\dfrac{u'(x)}{v'(x)}$limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, start fraction, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction existuje, pak jsou si následující dvě limity rovny:

Zkusme si například spočítat $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{7x-\sin(x)}{x^2+\sin(3x)}$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, 7, x, minus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, squared, plus, sine, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, end fraction.

Když do výrazu $\dfrac{7x-\sin(x)}{x^2+\sin(3x)}$start fraction, 7, x, minus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, squared, plus, sine, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, end fraction dosadíme $x=0$x, equals, 0, dostaneme neurčitý výraz $\dfrac{0}{0}$start fraction, 0, divided by, 0, end fraction. Použijme tedy L'Hospitalovo pravidlo.

Všimni si, že L'Hospitalovo pravidlo jsme mohli použít, protože $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{d}{dx}[7x-\sin(x)]}{\dfrac{d}{dx}[x^2+\sin(3x)]}$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, 7, x, minus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, divided by, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, x, squared, plus, sine, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, close bracket, end fraction skutečně existuje.

Zkusme spočítat limitu $\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+2x)^{^{\LARGE\frac{1}{\sin(x)}}}$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, start superscript, start superscript, start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, end superscript, end superscript. Když do výrazu dosadíme $x=0$x, equals, 0, dostaneme neurčitý výraz $1^{^{\Large\infty}}$1, start superscript, start superscript, infinity, end superscript, end superscript.

Aby se nám s tímto výrazem lépe pracovalo, uvažujme jeho přirozený logaritmus (tohle je častý trik při počítání se složenými exponenciálními funkcemi). Jinak řečeno, označme si $y=(1+2x)^{^{\LARGE\frac{1}{\sin(x)}}}$y, equals, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, start superscript, start superscript, start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, end superscript, end superscript a spočítejme $\displaystyle\lim_{x\to 0}\ln(y)$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis. Když už tuto limitu budeme znát, budeme schopni spočítat i limitu $\displaystyle\lim_{x\to 0}y$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, y.

$\ln(y) =\dfrac{\ln(1+2x)}{\sin(x)}$natural log, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, start fraction, natural log, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction

Když do výrazu $\dfrac{\ln(1+2x)}{\sin(x)}$start fraction, natural log, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction dosadíme $x=0$x, equals, 0, dostaneme neurčitý výraz $\dfrac{0}{0}$start fraction, 0, divided by, 0, end fraction, a proto teď můžeme použít L'Hospitalovo pravidlo!

Zjistili jsme, že $\displaystyle\lim_{x\to 0}\ln(y)=2$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, 2, což znamená, že $\displaystyle\lim_{x\to 0}y=e^2$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, y, equals, e, squared.