If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Opakování L'Hospitalova pravidla

L'Hospitalovo pravidlo nám pomáhá spočítat limity, u kterých po přímém dosazení hodnoty dostaneme neurčitý výraz 0/0 nebo ∞/∞. Zopakujme si, jak (a kdy) se používá.

Co je L'Hospitalovo pravidlo?

L'Hospitalovo pravidlo nám pomáhá spočítat limity, u kterých po přímém dosazení hodnoty dostaneme neurčitý výraz start fraction, 0, divided by, 0, end fraction nebo start fraction, infinity, divided by, infinity, end fraction.
Jinými slovy nám toto pravidlo pomáhá spočítat limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, start fraction, u, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, v, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, kde limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, v, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 (nebo když jsou obě limity plus minus, infinity).
L'Hospitalovo pravidlo v zásadě říká, že pokud limita limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, start fraction, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction existuje, pak jsou si následující dvě limity rovny:
limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, start fraction, u, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, v, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, equals, limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, start fraction, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction
Chceš se o L'Hospitalově pravidle naučit víc? Koukni se na toto video.

Použití L'Hospitalova pravidla k výpočtu limity podílu

Zkusme si například spočítat limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, 7, x, minus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, squared, plus, sine, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, end fraction.
Když do výrazu start fraction, 7, x, minus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, squared, plus, sine, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, end fraction dosadíme x, equals, 0, dostaneme neurčitý výraz start fraction, 0, divided by, 0, end fraction. Použijme tedy L'Hospitalovo pravidlo.
=limx07xsin(x)x2+sin(3x)=limx0ddx[7xsin(x)]ddx[x2+sin(3x)]L’Hospitalovo pravidlo=limx07cos(x)2x+3cos(3x)=7cos(0)2(0)+3cos(30)Dosazenıˊ hodnoty=2\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{7x-\sin(x)}{x^2+\sin(3x)} \\\\ &=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{d}{dx}[7x-\sin(x)]}{\dfrac{d}{dx}[x^2+\sin(3x)]}\qquad\gray{\text{L'Hospitalovo pravidlo}} \\\\ &=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{7-\cos(x)}{2x+3\cos(3x)} \\\\ &=\dfrac{7-\cos(0)}{2(0)+3\cos(3\cdot0)}\qquad\gray{\text{Dosazení hodnoty}} \\\\ &=2 \end{aligned}
Všimni si, že L'Hospitalovo pravidlo jsme mohli použít, protože limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, 7, x, minus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, divided by, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, x, squared, plus, sine, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, close bracket, end fraction skutečně existuje.
Příklad 1.1
  • Současný
limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, e, start superscript, x, end superscript, minus, 1, divided by, 2, x, end fraction, equals, question mark
Vyber 1 odpověď:

Chceš si zkusit víc takových příkladů? Podívej se na toto cvičení.

Použití L'Hospitalova pravidla k výpočtu limit složených exponenciálních funkcí

Zkusme spočítat limitu limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, start superscript, start superscript, start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, end superscript, end superscript. Když do výrazu dosadíme x, equals, 0, dostaneme neurčitý výraz 1, start superscript, start superscript, infinity, end superscript, end superscript.
Aby se nám s tímto výrazem lépe pracovalo, uvažujme jeho přirozený logaritmus (tohle je častý trik při počítání se složenými exponenciálními funkcemi). Jinak řečeno, označme si y, equals, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, start superscript, start superscript, start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, end superscript, end superscript a spočítejme limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis. Když už tuto limitu budeme znát, budeme schopni spočítat i limitu limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, y.
natural log, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, start fraction, natural log, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction
Když do výrazu start fraction, natural log, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction dosadíme x, equals, 0, dostaneme neurčitý výraz start fraction, 0, divided by, 0, end fraction, a proto teď můžeme použít L'Hospitalovo pravidlo!
=limx0ln(y)=limx0ln(1+2x)sin(x)=limx0ddx[ln(1+2x)]ddx[sin(x)]L’Hospitalovo pravidlo=limx0(21+2x)cos(x)=(21)1Dosazenıˊ hodnoty=2\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\lim_{x\to 0}\ln(y) \\\\ &=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+2x)}{\sin(x)} \\\\ &=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{d}{dx}[\ln(1+2x)]}{\dfrac{d}{dx}[\sin(x)]}\qquad\gray{\text{L'Hospitalovo pravidlo}} \\\\ &=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\left(\dfrac{2}{1+2x}\right)}{\cos(x)} \\\\ &=\dfrac{\left(\dfrac{2}{1}\right)}{1}\qquad\gray{\text{Dosazení hodnoty}} \\\\ &=2 \end{aligned}
Zjistili jsme, že limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, 2, což znamená, že limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, y, equals, e, squared.
Příklad 2.1
  • Současný
limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, open bracket, cosine, left parenthesis, 2, pi, x, right parenthesis, close bracket, start superscript, start superscript, start fraction, 1, divided by, x, end fraction, end superscript, end superscript, equals, question mark
Vyber 1 odpověď:

Chceš si vyzkoušet víc takových příkladů? Zkus toto cvičení.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.