If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Praktické úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin

Celý diferenciální počet je o okamžité změně nějaké veličiny. Podívejme se, jak to lze využít k řešení příkladů ze světa kolem nás.
Jeden ze způsobů, jak se dívat na derivaci f, prime funkce f, je ten, že f, prime, left parenthesis, k, right parenthesis je okamžitá rychlost změny hodnoty funkce f v bodě x, equals, k. Podívejme se, jak tento pohled můžeme využít k řešení slovních úloh.
Barel na vodu je naplňován vodou. Objem vody v litrech, který je v barelu po t sekundách, je dán lineární funkcí V, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, t.
Sklon funkce, v našem případě start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, představuje rychlost změny jejích hodnot. Jinak řečeno, barel je naplňován vodou rychlostí start fraction, 2, divided by, 3, end fraction litru za sekundu.
Rychlost změny hodnoty lineární funkce je vždy konstantní, takže se s ní dobře pracuje.
Teď si představme, že naplňujeme jiný barel a objem je tentokrát daný nelineární funkcí V, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 0, comma, 1, t, squared.
Všimni si, že graf roste nejdříve pozvolna a ke konci roste prudčeji. Rychlost změny hodnot funkce V, start subscript, 2, end subscript není konstantní.
Kdybychom chtěli mluvit o rychlosti změny hodnoty funkce V, start subscript, 2, end subscript, můžeme mluvit o okamžité rychlosti změny v jakémkoli daném čase. Okamžitá rychlost změny funkční hodnoty je daná derivací příslušné funkce.
V, start subscript, 2, end subscript, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 0, comma, 2, t
Například V, start subscript, 2, end subscript, prime, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 1. Matematicky to znamená, že směrnice tečny ke grafu funkce V, start subscript, 2, end subscript v bodě x, equals, 5 je 1. Co to znamená pro náš barel vody?
Směrnice tečny představuje sklon křivky v daném čase. Jelikož už víme, jak nám sklon udává rychlost změny, rovnost V, start subscript, 2, end subscript, prime, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 1 můžeme vysvětlit takto:
V čase t, equals, 5 sekund je barel naplňován rychlostí 1 litr za sekundu.
Všimni si několika věcí:
Zaprvé, rychlost změny je v litrech za sekundu. Jednotka derivace je vždy podíl závislé veličiny (zde litry) ku nezávislé veličině (zde sekundy).
Zadruhé, rychlost změny je daná v jednom konkrétním čase (zde t, equals, 5 sekund). Jde totiž o okamžitou rychlost změny. Když vezmeme jiný bod v čase, rychlost změny bude jiná. Když nás bude zajímat časový interval, rychlost změny na něm nebude konstantní.
Příklad 1.A
  • Současný
V tomto příkladu nás bude zajímat následující situace:
Linda jde ze školy domů. Její vzdálenost od školy v metrech po t minutách chůze je popsaná diferencovatelnou funkcí D.
V jakých jednotkách bude D, prime, left parenthesis, t, right parenthesis?
Vyber 1 odpověď:

Příklad 2
H udává výšku stromu v centimetrech t týdnů po jeho vysazení.
Čtyři studenti měli za úkol vysvětlit význam rovnosti H, prime, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 3 pro toto zadání.
Dokážeš spojit komentář učitele s vysvětlením studentů?
1

Častá chyba: zapomenutí jednotek nebo použití nesprávných jednotek

Pamatuj si: Když řešíme slovní úlohy, musíme vždy uvádět jednotky.
Například v Příkladu 2 je proměnnou funkce H čas měřený v týdnech a její hodnoty jsou v centimetrech. Derivace H, prime je také funkcí času měřeného v týdnech, ale její hodnoty jsou v centimetrech za týden.

Další častá chyba: mluvení o změně "v časovém intervalu" místo "v jednu konkrétní chvíli".

Derivace je okamžitá rychlost změny. Když mluvíme o rychlosti změny hodnot nějaké funkce a používáme při tom derivaci, měli bychom vždy říct, že jde o rychlost změny v jednu konkrétní chvíli.

Řešení příkladů s okamžitou rychlostí změny

Máme následující příklad:
Karel si vzal první dávku předepsaného léku. Množství léku v miligramech v Karlově krevním oběhu po t hodinách je dáno následující funkcí:
M, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 20, dot, e, start superscript, start superscript, minus, 0, comma, 8, t, end superscript, end superscript
Jaká je okamžitá rychlost změny zbývajícího množství léku v Karlově krevním oběhu po 1 hodině?
První věc, co by nás po přečtení zadání měla napadnout, je, že se nás ptají na okamžitou rychlost změny množství léku. To znamená, že musíme použít derivaci.
Jediná funkce, jejíž derivaci můžeme použít, je M, ale ujistěme se, že to je skutečně to, co chceme: M udává množství léku v Karlově krevním oběhu za čas a nás se ptají na okamžitou rychlost změny tohoto množství. Takže ano, potřebujeme spočítat M, prime:
M, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, minus, 16, dot, e, start superscript, minus, 0, comma, 8, t, end superscript
Máme zjistit okamžitou rychlost změny po 1 hodině, což znamená, že funkci M, prime musíme vyčíslit v bodě t, equals, 1:
M, prime, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, minus, 16, dot, e, start superscript, minus, 0, comma, 8, end superscript, approximately equals, minus, 7, comma, 2
A nakonec nesmíme zapomenout na jednotky. Jelikož M udává množství miligramů léku pro daný čas v hodinách, M, prime bude v miligramech za hodinu.
Závěrem je, že okamžitá rychlost změny zbývajícího množství léku v Karlově krevním oběhu po 1 hodině je minus, 7, comma, 2 miligramů za hodinu.
Příklad 3
Funkce C udává, kolik korun stojí skartování w kilogramů důvěrných dokumentů jedné firmy.
C, left parenthesis, w, right parenthesis, equals, 0, comma, 001, w, cubed, minus, 0, comma, 15, w, squared, plus, 7, comma, 5, w
Jaká je okamžitá rychlost změny nákladů na skartování, když dokumenty váží 10 kilogramů?
Vyber 1 odpověď:

Chceš víc příkladů na procvičení? Zkus toto cvičení.

Častá chyba: vyčíslení původní funkce místo její derivace

Pamatuj si: Když nás zajímá okamžitá rychlost změny hodnoty funkce f, tak se musíme podívat na její derivaci f, prime. Vyčíslení funkce f v daném bodě nám nedá žádnou informaci o rychlosti změny hodnoty funkce f v tomto bodě.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.