Druhá derivace (implicitní rovnice): najdi výraz

Máme rovnici, kde y na druhou minus x na druhou je rovno 4. Chceme najít druhou derivaci y podle x a máme ji vyjádřit pomocí x a y. Pozastavte si video a zkuste si to sami. Nyní to uděláme společně. Někteří to možná mohli řešit pro y a potom použít nějaké tradiční postupy. Jenomže my zde máme y na druhou, takže budeme muset pracovat s odmocninou. Někteří jste si možná řekli, že můžeme udělat trochu implicitní diferenciace, což je ve skutečnosti jen použití pravidla o složené funkci. Pojďme to tedy udělat. Nejdřív najdeme první derivaci y podle x. Abychom to provedli, udělám derivaci podle x obou stran rovnice. Co nám vyjde? Pomůžeme si využitím pravidla o složené funkci. Nejdříve vezmeme derivaci y na druhou podle y, což se bude rovnat 2y. Potom to vynásobíme derivací y podle x. Toto vychází z pravidla o složené funkci. Potom vyjádříme derivaci x na druhou podle x. To se rovná 2x. A nakonec čemu se rovná derivace konstanty podle x? Nezmění se, proto bude rovna 0. Nyní můžeme najít první derivaci y podle x. Pojďme na to. Na obou stranách můžeme přičíst 2x. Získáme 2y krát derivace y podle x se rovná 2x. Nyní obě strany vydělíme 2y a vyjde nám, že derivace y podle x se rovná x lomeno y. Dalším krokem je zderivovat obě strany podle x. Tím doufejme najdeme druhou derivaci y podle x. Pro přehlednost to přepíšu. Vždycky zapomenu podílové pravidlo, které se nám třeba může hodit. Ale můžeme to také přepsat jako součin. Přepíšu to tedy tak, že derivace y podle x se rovná x krát y na −1. Pokud chceme najít druhou derivaci, dáme na obě strany diferenciální operátor. Na levé straně máme to, co jsme chtěli získat, tedy druhou derivaci y podle x. Co jsme získali na pravé straně? Zde můžeme použít vzorec na derivaci součinu. Nejdříve máme derivaci x podle x, což je jedna krát druhá část výrazu, tedy krát y na −1. Následuje plus x krát derivace y na −1. Čemu se rovná derivace y na −1? Nejdříve můžeme najít derivaci y na −1 podle y. To tedy bude −1 krát y na −2. To vynásobíme derivací y podle x. Vzpomeňte si, že už víme, čemu se tato derivace rovná. To už jsme vyřešili. Je to x lomeno y. Toto tedy bude x lomeno y. Nyní tento výraz musíme pouze zjednodušit. Zkusím to udělat postupně po částech. Tato část bude pouze 1 lomeno y. Nyní tato část, zkusíme ji zjednodušit. Toto minus můžeme vytknout, čili minus a následuje x krát x. To celé bude děleno y na druhou a poté děleno dalším y. Výsledek tedy bude minus x na druhou lomeno y na třetí. Nebo to můžeme také přepsat jako x na druhou krát y na −3. A máme hotovo. Právě jsme našli druhou derivaci y podle x.