Řešený příklad: Derivace sec(3π/2-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce

Máme funkci y rovná se sekans v bodě ((3π lomeno 2) minus x) a chceme spočítat dy lomeno dx, tedy derivaci y podle x, a to v bodě x rovná se π lomeno 4. Jako vždy si zastavte video a zkuste to vyřešit sami. Vidíme, že zde máme složenou funkci. Nemáme tu sekans jenom z ‚x‘, ale z jiného výrazu, nebo můžeme říct z jiné funkce. Když si tento výraz označíme například jako u(x), tedy když zadefinujeme u(x) jako (3π lomeno 2) minus x... Můžeme rovnou spočítat ‚u‘ s čárkou v bodě x. Bude se rovnat... Derivace (3π lomeno 2) je 0, derivace −x je −1. Použil jsem vlastně derivaci mocniny, je to 1 krát −1 krát x na nultou, což je 1. To bychom měli. Na tohle se tedy můžeme dívat jako na derivaci naší funkce sekans podle u(x)... Když budeme derivovat, tak to bude derivace naší funkce sekans podle u(x) krát derivace ‚u‘ podle x. Možná si teď říkáte, jak zderivovat sekans. V jiném videu už jsme si to dokázali. Mohli byste to i znovu odvodit. Sekans je jen 1 lomeno kosinus a pak stačí použít derivaci složené funkce. V jiném videu jsme si tedy dokázali, že derivace sec(x) se rovná sin(x) lomeno cos(x) na druhou. Když tedy chceme spočítat derivaci y podle x, tak to bude derivace naší funkce sekans podle u(x) krát derivace ‚u‘ podle x. Tak to napišme. Derivace naší funkce sekans podle u(x)... Místo x musíme všude napsat u(x), takže to bude sinus v bodě u(x)... Nemusel bych ani psát u(x), mohl bych rovnou napsat (3π lomeno 2) minus x, ale napíšu u(x), aby bylo lépe vidět, co děláme. Sinus v bodě u(x) lomeno kosinus na druhou v bodě u(x)... Závorky raději udělám stejnou modrou barvou jako ty goniometrické funkce. ...kosinus na druhou v bodě u(x). Takhle tedy vypadá derivace naší funkce sekans podle u(x). Podle pravidla o derivaci složené funkce to ještě musíme vynásobit u(x) s čárkou. Čemu se to nyní bude rovnat? Jen do toho dosadím. Toto se rovná... Napíšu to takto. Sinus v bodě u(x), což je (3π lomeno 2) minus x, za chvilku to tam napíšu, lomeno kosinus na druhou v bodě u(x), to celé krát ‚u‘ s čárkou v bodě x. u(x) se rovná (3π lomeno 2) minus x. Navíc už jsme zjistili, že ‚u‘ s čárkou v bodě x je −1, takže můžu napsat krát -1. Zatím to tak nechám. Mohl bych sice minus napsat dopředu, ale chci, abyste dobře viděli, co tu dělám. Nyní musíme derivaci vyčíslit v bodě x rovná se π lomeno 4. x se tedy rovná π lomeno 4. Toto se rovná sinus v bodě... Kolik je (3π lomeno 2) minus (π lomeno 4)? Napíšu to sem vedle. Když převedeme na společného jmenovatele, tak to bude 6π lomeno 4... To je totéž jako 3π lomeno 2. ...minus π lomeno 4... Pardon, minus π lomeno 4. ...což se rovná 5π lomeno 4. Máme tak sinus v bodě (5π lomeno 4) lomeno kosinus na druhou v bodě (5π lomeno 4), tohle celé krát −1, což můžu napsat dopředu. Kolik je sinus v bodě (5π lomeno 4) a kosinus na druhou v bodě (5π lomeno 4)? Sám si to z hlavy nepamatuji, ale nakresleme si jednotkovou kružnici, pomocí které bychom měli být schopni zjistit, čemu se to rovná. Takže jednotková kružnice... Zkusím ji načrtrnout, jak nejlépe umím. Snad mi odpustíte, že moje kružnice nevypadá zrovna moc jako kružnice. Teď si vyznačme nějaké úhly. V hlavě si je občas převádím na stupně. π lomeno 4 je 45 stupňů, tohle je π lomeno 2, tady je 3π lomeno 4, zde je 4π lomeno 4 a 5π lomeno 4 je tady. My teď chceme vědět, ve kterém bodě tady protínáme jednotkovou kružnici. Je to bod, jehož x-ová souřadnice je minus odmocnina ze 2 vydělená 2 a jehož y-ová souřadnice je také minus odmocnina ze 2 vydělená 2. Pokud si říkáte, jak jsem na to přišel, doporučuji si zopakovat jednotkovou kružnici a některé známé úhly na ní. Najdete to v kurzu trigonometrie na stránkách Khan Academy. Tohle nám teď ale stačí, protože sinus je y-ová souřadnice tohoto bodu, takže tady bude minus odmocnina ze 2 vydělená 2, a kosinus je x-ová souřadnice, což je také minus odmocnina ze 2 vydělená 2, kterou mocníme na druhou, takže (minus odmocnina ze 2 vydělená 2) na druhou. Když tohle umocníme na druhou, bude to kladné. Odmocnina ze 2 umocněná na druhou je 2, 2 na druhou jsou 4, takže se to rovná jedné polovině. Jmenovatel se rovná jedné polovině. V čitateli se tohle minus pokrátí s tímhle minus, takže nám zbyla odmocnina ze 2 vydělená 2, tomu se rovná čitatel, děleno jedna polovina, což je totéž jako kdybychom násobili 2, tudíž nám zbyde kladná odmocnina ze 2. Taková je směrnice tečny ke grafu y rovná se tento výraz v bodě x rovno π lomeno 4. Velmi zajímavé.