Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3
Lekce 2: Další procvičování derivování složených funkcí- Derivace aˣ (pro libovolný základ a)
- Derivace logₐx (pro libovolný základ a≠1)
- Derivace aˣ a logₐx
- Řešený příklad: Derivace 7^(x²-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace log₄(x²+x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace sec(3π/2-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace ∜(x³+4x²+7) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Více o pravidle pro derivaci složené funkce
- Důkaz pravidla pro derivaci složené funkce
- Shrnutí pravidel derivování
Řešený příklad: Derivace sec(3π/2-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
Zderivujeme funkci sec(3π/2-x) a vyčíslíme její derivaci v x=π/4.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme funkci y rovná se sekans v bodě
((3π lomeno 2) minus x) a chceme spočítat dy lomeno dx,
tedy derivaci y podle x, a to v bodě
x rovná se π lomeno 4. Jako vždy si zastavte video
a zkuste to vyřešit sami. Vidíme, že zde máme
složenou funkci. Nemáme tu sekans
jenom z ‚x‘, ale z jiného výrazu,
nebo můžeme říct z jiné funkce. Když si tento výraz
označíme například jako u(x), tedy když zadefinujeme u(x) jako
(3π lomeno 2) minus x... Můžeme rovnou spočítat
‚u‘ s čárkou v bodě x. Bude se rovnat... Derivace (3π lomeno 2) je 0,
derivace −x je −1. Použil jsem vlastně
derivaci mocniny, je to 1 krát −1 krát
x na nultou, což je 1. To bychom měli. Na tohle se tedy můžeme dívat jako na
derivaci naší funkce sekans podle u(x)... Když budeme derivovat, tak to bude derivace naší funkce sekans
podle u(x) krát derivace ‚u‘ podle x. Možná si teď říkáte,
jak zderivovat sekans. V jiném videu už
jsme si to dokázali. Mohli byste to
i znovu odvodit. Sekans je jen 1 lomeno kosinus a pak
stačí použít derivaci složené funkce. V jiném videu jsme
si tedy dokázali, že derivace sec(x) se rovná
sin(x) lomeno cos(x) na druhou. Když tedy chceme spočítat
derivaci y podle x, tak to bude derivace naší funkce sekans
podle u(x) krát derivace ‚u‘ podle x. Tak to napišme. Derivace naší funkce
sekans podle u(x)... Místo x musíme
všude napsat u(x), takže to bude
sinus v bodě u(x)... Nemusel bych ani psát u(x), mohl bych
rovnou napsat (3π lomeno 2) minus x, ale napíšu u(x), aby bylo
lépe vidět, co děláme. Sinus v bodě u(x) lomeno
kosinus na druhou v bodě u(x)... Závorky raději udělám stejnou modrou
barvou jako ty goniometrické funkce. ...kosinus na druhou
v bodě u(x). Takhle tedy vypadá derivace
naší funkce sekans podle u(x). Podle pravidla o derivaci složené funkce
to ještě musíme vynásobit u(x) s čárkou. Čemu se to nyní
bude rovnat? Jen do
toho dosadím. Toto se rovná... Napíšu to takto. Sinus v bodě u(x), což je
(3π lomeno 2) minus x, za chvilku
to tam napíšu, lomeno kosinus na
druhou v bodě u(x), to celé krát
‚u‘ s čárkou v bodě x. u(x) se rovná
(3π lomeno 2) minus x. Navíc už jsme zjistili, že
‚u‘ s čárkou v bodě x je −1, takže můžu
napsat krát -1. Zatím to
tak nechám. Mohl bych sice
minus napsat dopředu, ale chci, abyste dobře
viděli, co tu dělám. Nyní musíme derivaci vyčíslit
v bodě x rovná se π lomeno 4. x se tedy
rovná π lomeno 4. Toto se rovná
sinus v bodě... Kolik je (3π lomeno 2)
minus (π lomeno 4)? Napíšu to
sem vedle. Když převedeme na společného jmenovatele,
tak to bude 6π lomeno 4... To je totéž jako
3π lomeno 2. ...minus π lomeno 4... Pardon, minus π lomeno 4. ...což se rovná
5π lomeno 4. Máme tak sinus v bodě (5π lomeno 4) lomeno
kosinus na druhou v bodě (5π lomeno 4), tohle celé krát −1,
což můžu napsat dopředu. Kolik je sinus v bodě (5π lomeno 4)
a kosinus na druhou v bodě (5π lomeno 4)? Sám si to z hlavy nepamatuji,
ale nakresleme si jednotkovou kružnici, pomocí které bychom měli
být schopni zjistit, čemu se to rovná. Takže jednotková kružnice... Zkusím ji načrtrnout,
jak nejlépe umím. Snad mi odpustíte, že moje kružnice
nevypadá zrovna moc jako kružnice. Teď si vyznačme
nějaké úhly. V hlavě si je občas
převádím na stupně. π lomeno 4
je 45 stupňů, tohle je
π lomeno 2, tady je
3π lomeno 4, zde je
4π lomeno 4 a 5π lomeno 4 je tady. My teď chceme vědět, ve kterém bodě
tady protínáme jednotkovou kružnici. Je to bod, jehož x-ová souřadnice je
minus odmocnina ze 2 vydělená 2 a jehož y-ová souřadnice je také
minus odmocnina ze 2 vydělená 2. Pokud si říkáte,
jak jsem na to přišel, doporučuji si zopakovat jednotkovou
kružnici a některé známé úhly na ní. Najdete to v kurzu trigonometrie
na stránkách Khan Academy. Tohle nám
teď ale stačí, protože sinus je y-ová
souřadnice tohoto bodu, takže tady bude minus
odmocnina ze 2 vydělená 2, a kosinus je x-ová souřadnice, což je také
minus odmocnina ze 2 vydělená 2, kterou mocníme na druhou, takže (minus
odmocnina ze 2 vydělená 2) na druhou. Když tohle umocníme
na druhou, bude to kladné. Odmocnina ze 2 umocněná
na druhou je 2, 2 na druhou jsou 4, takže se to rovná
jedné polovině. Jmenovatel se rovná
jedné polovině. V čitateli se tohle minus
pokrátí s tímhle minus, takže nám zbyla odmocnina ze 2
vydělená 2, tomu se rovná čitatel, děleno jedna polovina, což je
totéž jako kdybychom násobili 2, tudíž nám zbyde
kladná odmocnina ze 2. Taková je směrnice tečny ke grafu y rovná
se tento výraz v bodě x rovno π lomeno 4. Velmi zajímavé.