Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3
Lekce 2: Další procvičování derivování složených funkcí- Derivace aˣ (pro libovolný základ a)
- Derivace logₐx (pro libovolný základ a≠1)
- Derivace aˣ a logₐx
- Řešený příklad: Derivace 7^(x²-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace log₄(x²+x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace sec(3π/2-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace ∜(x³+4x²+7) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Více o pravidle pro derivaci složené funkce
- Důkaz pravidla pro derivaci složené funkce
- Shrnutí pravidel derivování
Řešený příklad: Derivace ∜(x³+4x²+7) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
Zderivujeme funkci ∜(x³+4x²+7) a vyčíslíme její derivaci v x=-3.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Řekněme, že chceme spočítat derivaci
podle x ze čtvrté odmocniny z výrazu: x na třetí plus 4 krát
x na druhou plus 7. Nejprve si asi řeknete: „Jak se derivuje
čtvrtá odmocnina z něčeho?“ „Vypadá to, že mám
složenou funkci, protože mám čtvrtou odmocninu
z nějakého výrazu.“ To je pravda. A když derivujete
složenou funkci, měli byste myslet na pravidlo
pro derivaci složené funkce. Nejprve si tuto čtvrtou odmocninu přepišme
tak, aby se nám s ní lépe pracovalo. Čtvrtou odmocninu můžeme napsat
jako mocninu ve tvaru zlomku. Toto se tedy bude rovnat
derivaci podle x z výrazu: (x na třetí plus 4 krát x na druhou
plus 7) na (1 lomeno 4). Jak tohle zderivovat? Jak jsem před chvílí řekl, můžeme se na
to dívat jako na složenou funkci. Nejprve naše
x dosadíme sem, takže si to označme
třeba jako u(x), a výslednou hodnotu u(x) pak
umocníme na tuhle mocninu. Derivaci tedy
spočítáme tak, že zderivujeme tuto
vnější funkci podle u(x) a pak to vynásobíme
derivací ‚u‘ podle x. Tak pojďme na to. Tohle se
tedy rovná... Vnější funkci, kterou právě
zvýrazňuji zelenou, tedy funkci, která mi něco
umocní na (1 lomeno 4), zderivuji podle vnitřní
funkce, tedy podle u(x). K tomu použiji
derivaci mocniny. Jednu čtvrtinu
napíšu dopředu, takže to bude (1 lomeno 4) krát
to, podle čeho derivuji, umocněno na
(1 lomeno 4) minus 1. Jen jsem použil vzorec
pro derivaci mocniny. Nemám tady x, dělám
totiž derivaci podle u(x), tedy podle
tohoto polynomu, takže sem
musím napsat u(x). Musím sem napsat x na třetí
plus 4 krát x na druhou plus 7. Tohle teď
musím vynásobit... Podle pravidla o derivaci složené funkce
mám zderivovat vnější funkci podle vnitřní a pak to vynásobit
derivací vnitřní funkce. Čemu se tedy
rovná derivace u(x)? ‚u‘ s čárkou v bodě x... Jen několikrát použijeme
vzorec pro derivaci mocniny. ...se rovná
3 krát x na druhou plus 2 krát 4 je 8, tohle krát
x na (2 minus 1), tedy x na prvou, což mohu napsat
jako 8 krát x. Derivace podle x ze 7... Derivace podle x
z konstanty je 0. Takto tedy vypadá u(x) s čárkou,
kterou teď musím vynásobit, takže to bude krát (3 krát
x na druhou plus 8 krát x). Tohle bych možná mohl
trochu zjednodušit. Bude se
to rovnat... Vlastně jenom
přepíšu exponent. (1 lomeno 4) minus 1 se rovná
minus (3 lomeno 4). Tohle ještě můžete
různě upravovat. Důležité je ale poznat, že je třeba použít
pravidlo o derivaci složené funkce. Derivace vnější
funkce podle... První důležitou věcí
vlastně bylo to, že čtvrtá odmocnina je totéž
jako mocnění na (1 lomeno 4). To je základní
vlastnost mocnin. Poté bylo důležité poznat,
že jde o složenou funkci, takže je třeba zderivovat vnější
funkci podle vnitřní, což máme tady, a to vynásobit derivací
vnitřní funkce podle x. Kdyby vám teď někdo zadal, že f(x)
se rovná čtvrtá odmocnina z výrazu: x na třetí plus 4 krát
x na druhou plus 7, a ptal se, čemu se rovná
f s čárkou v bodě −3, tak byste tohle museli
vyčíslit pro x rovno −3. Tak to udělejme. Bude to (1 lomeno 4)
krát (−27... Doufám, že to vyjde
nějak hezky. ...plus 36 plus 7) umocněno na
minus (3 lomeno 4). Čemu se
tohle rovná? Bude se
to rovnat... Tohle je 16, protože −27 plus 7 je −20,
k čemuž ještě přičteme 36. Tady tedy
bude 16. Myslím, že to
vyjde hezky. Tohle musíme
vynásobit... 3 krát 9 je 27 a ještě
musíme odečíst 24, takže to musíme
vynásobit 3. Čemu se rovná
16 na minus (3 lomeno 4)? Toto se tedy rovná
(1 lomeno 4) krát... 16 na (1 lomeno 4) je 2,
což následně mocníme na... Raději nebudu
přeskakovat kroky. V tuhle chvíli už je to algebra
nebo možná pokročilejší aritmetika. Bude to tedy krát 16 na (1 lomeno 4),
což následně umocníme na minus třetí, krát tato 3, kterou
mohu napsat sem. 16 na (1 lomeno 4) je 2. 2 na třetí je 8, takže
2 na minus třetí je 1 lomeno 8. Máme tedy (3 lomeno 4) krát (1 lomeno 8),
což se rovná 3 lomeno 32. Taková je směrnice tečny ke grafu
funkce y rovná se f(x) v bodě x rovno −3.