Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3
Lekce 2: Další procvičování derivování složených funkcí- Derivace aˣ (pro libovolný základ a)
- Derivace logₐx (pro libovolný základ a≠1)
- Derivace aˣ a logₐx
- Řešený příklad: Derivace 7^(x²-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace log₄(x²+x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace sec(3π/2-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace ∜(x³+4x²+7) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Více o pravidle pro derivaci složené funkce
- Důkaz pravidla pro derivaci složené funkce
- Shrnutí pravidel derivování
Derivace logₐx (pro libovolný základ a≠1)
Najdeme derivaci logₐx (pro libovolný základ a≠1) za pomoci derivace ln(x) a pravidla pro derivaci složené funkce. Poté zderivujeme log₇x a -3log_π(x).
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Z předešlého videa víme, že derivace podle 'x' z přirozeného
logaritmu x je rovna 1 děleno x. To, co zde chci dělat,
je použít znalosti, které jsme získali dříve, k
tomu, abychom zjistili, čemu je rovna derivace podle 'x'
z logaritmu o libovolném základu. Takže tento logaritmus nazvu
logaritmus čísla 'x' o základu 'a'. Takže jak toto vyřešíme? Klíčová věc je to, co už můžete znát z algebry nebo
úvodu do diferenciálního počtu. A to je změna základu logaritmu. Takže pokud mám nějaký… Udělám to tady. ...logaritmus čísla 'b' o základu 'a'
a chtěl bych to změnit na jiný základ, řekněme na základ 'c', tak je to stejné jako: logaritmus čísla 'b' o základu 'c' lomeno
logaritmus čísla 'a' o základu 'c'. Logaritmus 'b' o základu 'c' lomeno
logaritmus 'a' o základu 'c'. Toto je opravdu užitečná věc, a pokud jste ji nikdy předtím neviděli,
tak jsem vám ji právě ukázal. A dokázali jsme ji v ostatních
videích na Khanově akademii. A je skutečně užitečná, protože například
vaše kalkulačka má tlačítko logaritmu. Logaritmus na vaší kalkulačce je
logaritmus o základu 10. Takže pokud stisknete na kalkulačce 100
a stisknete logaritmus, vyjde vám číslo 2. Takže kdykoliv uvidíte
logaritmus ze 100, je to implicitně o základu 10. Máte tlačítko pro přirozený logaritmus,
což je logaritmus o základu 'e'. Přirozený logaritmus x je roven
logaritmu 'x' o základu 'e'. Ale někdy chcete najít všechny
druhy logaritmů o různých základech a tohle je způsob, jak to udělat. Takže pokud používáte svou
kalkulačku a chcete najít, čemu se rovná logaritmus
čísla 8 o základu 3, napsali byste do kalkulačky
log 8 a log 3. Napíšu to takto… Přičemž oba z nich mají
implicitně základ 10 a dostali byste
stejnou hodnotu, kdybyste vydělili přirozený logaritmus
z 8 přirozeným logaritmem ze 3. Což možná také
máte na své kalkulačce. A my v tomto videu budeme
využívat přirozeného logaritmu, protože víme, čemu je rovna
derivace přirozeného logaritmu. Takže tato derivace je to
samé jako derivace podle 'x'… Logaritmus čísla 'x' o základu 'a'
může být přepsán takto: přirozený logaritmus 'x' lomeno
přirozený logaritmus 'a'. Přirozený logaritmus 'a'
je jen číslo, můžu ho přepsat jako… Napíšu to takto: 1 děleno přirozený logaritmus 'a'
krát přirozený logaritmus 'x'. Čemu je rovna
derivace tohoto? Můžeme si dát
dopředu konstantu. 1 děleno přirozený logaritmus 'a'
je jen číslo. Takže dostaneme 1 děleno
přirozený logaritmus 'a', a to vynásobíme derivací podle 'x'
z přirozeného logaritmu 'x'. Což už víme,
že je 1 děleno x. Takže tento výraz
je 1 děleno x. Takže nám vyjde 1 děleno přirozený
logaritmus 'a' krát 1 děleno x, což můžeme zapsat jako 1
děleno (přirozený logaritmus 'a' krát x). Což je velice
užitečné vědět. Takže teď umíme počítat
všechny druhy derivací logaritmů. Takže kdybych vám řekl, že f(x) je
rovno logaritmu čísla 'x' o základu 7, tak teď můžeme říct, že f'(x) bude 1 lomeno
(přirozený logaritmus 7 krát x). Kdybychom měli konstantu,
například g(x)… g(x) je rovno −3 krát logaritmus
o základu, řekněme o základu π. π je číslo. Logaritmus čísla 'x' o základu π. g'(x) by bylo rovno 1 lomeno… Musím být opatrný,
mám tady tuto konstantu. Takže by to bylo −3 lomeno… Je to tato −3. …lomeno přirozený logaritmus π. Toto je přirozený logaritmus
tohoto čísla. …krát x. Doufám, že vám to nějak pomohlo.