Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3
Lekce 2: Další procvičování derivování složených funkcí- Derivace aˣ (pro libovolný základ a)
- Derivace logₐx (pro libovolný základ a≠1)
- Derivace aˣ a logₐx
- Řešený příklad: Derivace 7^(x²-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace log₄(x²+x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace sec(3π/2-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace ∜(x³+4x²+7) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Více o pravidle pro derivaci složené funkce
- Důkaz pravidla pro derivaci složené funkce
- Shrnutí pravidel derivování
Řešený příklad: Derivace log₄(x²+x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
Zderivujeme exponenciální funkci log₄(x²+x) za pomoci znalostí derivace logₐ(x) a pravidla pro derivaci složené funkce.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme funkci y rovná se logaritmus
o základu 4 z (x na druhou plus x). Čemu se rovná
derivace y podle x? Možná už teď vidíte,
že toto je složená funkce. Nemáme logaritmus
o základu 4 jenom z x, ale z jiného výrazu
obsahujícího proměnnou x. Mohli bychom si tedy říct, že tento
modrý výraz označíme jako u(x). Napíšu to modře. Modrý výraz
označíme jako u(x), takže u(x) se bude rovnat
x na druhou plus x. Později se bude hodit vědět,
čemu se rovná ‚u‘ s čárkou v bodě x. To se rovná, když použiji pravidlo
pro derivaci mocniny, 2 krát x plus 1. 2 jsem napsal dopředu
a zmenšil jsem exponent a derivace x podle x je 1. Logaritmus o základu 4 z tohoto
výrazu můžeme označit jako funkci ‚v‘. Funkce v(x) tedy bude
logaritmus o základu 4 z ‚x‘. V jiných videích
jsme si ukázali, že ‚v‘ s čárkou v bodě x
bude velmi podobná tomu, kdyby to byl logaritmus o základu e,
neboli přirozený logaritmus, ale ještě to
musíme přenásobit. Bude to 1 lomeno
logaritmus o základu 4... Pardon, 1 lomeno
(přirozený logaritmus ze 4 vynásobený x). Kdyby v(x) bylo přirozený logaritmus x,
tak by derivace byla 1 lomeno x, ale jde o logaritmus
o základu 4... Tohle plyne ze vzorce pro
změnu základu logaritmu, o kterém máme
samostatné video. Jmenovatel tedy musíme
přenásobit přirozeným logaritmem ze 4, neboli celý výraz přenásobíme výrazem
1 lomeno přirozený logaritmus ze 4. Tohle teď využijeme, protože na y se nyní
můžeme dívat jako na ‚v‘ v bodě... ‚v‘ jsme definovali jako
logaritmus o základu 4 z něčeho. Nebude to ovšem v(x),
protože tady není jenom x, ale máme tu výraz,
který jsme označili jako u(x), takže sem musíme
napsat u(x). Nakreslím zde čáru, aby se nám věci
na jednotlivých stranách nepletly. Podle pravidla o derivaci složené funkce
víme, že derivace y podle x se rovná: derivace ‚v‘ podle ‚u‘,
neboli ‚v‘ s čárkou v bodě u(x)... u(x) napíšu modře. ...‚v‘ s čárkou v bodě u(x)
krát ‚u‘ s čárkou v bodě x. Čemu se rovná
‚v‘ s čárkou v bodě u(x)? Víme, čemu se rovná
v(x) s čárkou. Když chceme znát ‚v‘ s čárkou v bodě u(x),
musíme všude místo x napsat u(x), takže toto se rovná
‚v‘ s čárkou v bodě u(x)... Jde vlastně o derivaci zelené
funkce podle modré funkce. Bude to tedy 1 lomeno
(přirozený logaritmus ze 4 vynásobený... Místo toho, abychom napsali x,
tam musíme napsat u(x). ...vynásobený u(x)), tohle celé krát
‚u‘ s čárkou v bodě x. Dělám to ve více krocích, aby bylo
lépe vidět, co tu dělám. Toto se rovná 1 lomeno
(přirozený logaritmus ze 4... u(x) se rovná
x na druhou plus x, ...krát (x na druhou plus x)), tohle celé krát ‚u‘ s čárkou v bodě x,
tedy krát (2 krát x plus 1). Tohle ještě můžeme
přepsat jako: (2 krát x plus 1) lomeno přirozený
logaritmus ze 4 krát (x na druhou plus x). A máme hotovo, i když ještě můžeme
roznásobit přirozeným logaritmem ze 4, ale právě jsme spočítali
derivaci y podle x.