Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3
Lekce 2: Další procvičování derivování složených funkcí- Derivace aˣ (pro libovolný základ a)
- Derivace logₐx (pro libovolný základ a≠1)
- Derivace aˣ a logₐx
- Řešený příklad: Derivace 7^(x²-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace log₄(x²+x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace sec(3π/2-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace ∜(x³+4x²+7) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Více o pravidle pro derivaci složené funkce
- Důkaz pravidla pro derivaci složené funkce
- Shrnutí pravidel derivování
Derivace aˣ (pro libovolný základ a)
Najdeme derivaci aˣ (pro libovolný základ a) za pomoci derivace eˣ a pravidla pro derivaci složené funkce. Poté zderivujeme 8⋅3ˣ.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu se chci zabývat
derivacemi exponenciálních funkcí. Už jsme se setkali s derivacemi
podle x z (e na x), což je (e na x), to je docela zajímavá věc. Jedna z mnoha věcí,
která činí e neobvyklým. Když zde máte exponenciální
funkci o základu e, její derivace, sklon v jakémkoli bodě,
je roven hodnotě aktuální funkce. Pojďme teď prozkoumat
funkce o jiném základu. Můžeme nějak přijít na to,
co je derivací podle x, pokud máme (a na x),
kde 'a' může být jakékoli číslo? Lze to nějak vyřešit? A možná s využitím znalosti,
že derivace (e na x) je (e na x)? Můžeme nějak použít trochu
algebry a vlastností exponentu a přepsat to tak,
že 'e' bude základ? Můžeme uvažovat,
že 'a' rovná se 'e'… Napíšu to takto. 'a' se rovná 'e' na
přirozený logaritmus 'a'. Pokud vám to není jasné,
chci, abyste o tom přemýšleli. Čemu je roven přirozený
logaritmus z 'a'? Přirozeným logaritmem 'a' je mocnina,
kterou umocníte 'e', abyste dostali 'a'. Takže pokud umocníte e
exponentem, který potřebujete, abyste po umocnění dostali 'a', potom dostanete hodnotu 'a'. Tak o tom popřemýšlejte. Nepřijměte to jako slepou pravdu. Mělo by vám to dávat smysl. Vychází to z toho,
co je logaritmus. Takže můžeme nahradit 'a'
tímto celým výrazem. Pokud 'a' je shodné
s 'e' na přirozený logaritmus, potom to bude rovno
derivaci podle x… Derivaci e na ln(a) a potom to
umocníme na x-tou mocninu. Teď s užitím vlastnosti exponentu
to bude rovno derivaci podle x… Tady to zvýrazním. Pokud něco umocním
a ještě znovu to umocním, je to stejné jako umocnit
původní základ na součin exponentů. To je základní
vlastnost exponentů. Tedy to bude stejné jako 'e' na přirozený
logaritmus 'a' krát 'x'. A teď to můžeme použít pravidlo
o složené funkci a vyčíslit derivaci. Takže teď uděláme to, že první vezmeme
derivaci vnější funkce. 'e' na přirozený logaritmus
'a' krát 'x' podle vnitřní funkce, tedy podle přirozeného
logaritmu 'a' krát x. Bude se to rovnat 'e' na
přirozený logaritmus 'a' krát 'x'. A potom vezmeme derivaci
vnitřní funkce podle x. Přirozený logaritmus 'a'… Nemusí to být hned
patrné, ale to je číslo. Bude to vynásobené derivací. Kdyby to byla derivace
(3x), byly by to 3. Když to je derivace
přirozeného logaritmu 'a' krát 'x', bude to přirozený
logaritmus 'a'. A to nám dá přirozený logaritmus 'a'
krát 'e' na přirozený logaritmus 'a'. A zapíšu to takto: přirozený logaritmus 'a' na 'x'. Už jsme to viděli. Toto zde vpravo je jen 'a'. Vše se zjednoduší na přirozený
logaritmus 'a' krát (a na x), což je pěkný výsledek. Takže derivace
e na x je e na x. Pokud derivujete (a na x), bude to přirozený logaritmus
'a' krát (a na x). Takže můžeme
použít výsledek, abychom dostali derivaci
výrazů o jiném základu než 'e'. Takže když chceme najít derivaci
podle x výrazu 8 krát (3 na x), kolik to bude? Jednoduše: 8 krát… A teď derivace tady toho bude… Na základě toho,
co už jsem říkal, to bude přirozený logaritmus
našeho základu, přirozený logaritmus 3 krát (3 na x). Takže je to rovno 8 krát přirozený
logaritmus 3 krát (3 na x).