Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3
Lekce 2: Další procvičování derivování složených funkcí- Derivace aˣ (pro libovolný základ a)
- Derivace logₐx (pro libovolný základ a≠1)
- Derivace aˣ a logₐx
- Řešený příklad: Derivace 7^(x²-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace log₄(x²+x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace sec(3π/2-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace ∜(x³+4x²+7) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Více o pravidle pro derivaci složené funkce
- Důkaz pravidla pro derivaci složené funkce
- Shrnutí pravidel derivování
Řešený příklad: Derivace 7^(x²-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
Zderivujeme exponenciální funkci 7^(x²-x) za pomoci znalostí derivace aˣ a pravidla pro derivaci složené funkce.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme funkci y rovná se 7 umocněno
na (x na druhou minus x). Čemu se rovná
derivace y podle x? Jako vždy si zastavte video
a zkuste na to přijít sami. Vzhledem k tomu, jak jsem
to dopředu barevně označil, si hned můžete všimnout,
že jde o složenou funkci, tedy že se na to můžeme
dívat jako na složenou funkci. Když si zadefinujeme
funkci v(x) rovná se 7 na x a další funkci u(x) rovná se
x na druhou minus x, pak se naše
y rovná... Je to 7 na něco, takže to bude
‚v‘ v bodě... Nebude to v(x),
ale ‚v‘ v bodě u(x), protože místo x je v exponentu celá
funkce u(x), x na druhou minus x. Toto se tedy rovná
‚v‘ v bodě u(x). Podle pravidla o derivaci složené
funkce se derivace y podle x... Tuto derivaci můžeme
zapsat různě. Občas to můžete vidět jako
derivace ‚v‘ podle ‚u‘, tedy jako
‚v‘ s čárkou v bodě u(x), krát derivace ‚u‘
podle x. To je jeden
možný zápis. Nebo můžete napsat, že toto
se rovná derivace ‚v‘ podle x... Pardon, derivace ‚v‘ podle ‚u‘. ...dv lomeno du krát
derivace ‚u‘ podle x. Ať už to napíšeme jakkoli,
pojďme to teď spočítat. Čemu se rovná
derivace ‚v‘ podle ‚u‘? Čemu se rovná
‚v‘ s čárkou v bodě u(x)? Víme... Napíšu to sem. Když je v(x) rovno 7 na x,
‚v‘ s čárkou v bodě x se rovná... Toto jsme si
dokázali ve videích, ve kterých jsme derivovali exponenciální
funkce o jiném základu než e. Bude to přirozený logaritmus
ze 7 vynásobený 7 na x. Když nás tedy zajímá
‚v‘ s čárkou v bodě u(x), tak všude místo x
budeme mít u(x), takže zde bude přirozený
logaritmus ze 7 vynásobený 7 na... Nemůžeme napsat 7 na x, protože nás
zajímá ‚v‘ s čárkou v bodě u(x), ale bude to 7 na
(x na druhou minus x). Tohle teď ještě musíme
vynásobit derivací ‚u‘ podle x. ‚u‘ s čárkou v bodě x je 2 krát
x na prvou, což je 2 krát x, minus 1, takže zde musíme vynásobit
výrazem (2 krát x minus 1). A je to, toto je
derivace y podle x. Mohli bychom ji ještě zkusit
zjednodušit nebo nějak přepsat, ale hlavní věcí
tady je, že musíme udělat
derivaci (7 na u(x)) podle u(x). S u(x) tedy počítáme tak,
jak bychom tady počítali s x, takže dostaneme přirozený
logaritmus ze 7 vynásobený 7 na u(x). To ale ještě musíme
vynásobit derivací ‚u‘ podle x. K tomu všemu nám stačilo jen
pravidlo o derivaci složené funkce.