Hlavní obsah

Diferenciální počet

Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3

Lekce 2: Další procvičování derivování složených funkcí

Důkaz pravidla pro derivaci složené funkce

Důkaz pravidla pro derivaci složené funkce.

Pravidlo pro derivaci složené funkce nám říká, jak nalézt derivaci složené funkce:

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.

Ke zvládnutí tohoto kurzu není znalost důkazu nezbytná, avšak věříme, že jeho pochopení může být poučné. K úplnému pochopení problematiky je vždy důležité umět odůvodnit platnost tvrzení, která při výpočtech používáme.

Nejprve si dokážeme dvě drobná tvrzení, která pak využijeme k důkazu pravidla pro derivaci složené funkce.

(Drobná tvrzení, která jsou využívána k důkazu větší věty, jsou většinou nazývána lemmata.)

1. Pokud je funkce diferencovatelná, pak je i spojitá.

Khan Academy video

Proof: Differentiability implies continuityZobrazit přepis videa

2. Pokud je funkce u spojitá v x, pak delta, u, \to, 0 pro delta, x, \to, 0.

Khan Academy video

If function u is continuous at x, then Δu→0 as Δx→0 Zobrazit přepis videa

Nyní můžeme přistoupit k důkazu pravidla pro derivaci složené funkce!

Khan Academy video

Chain rule proofZobrazit přepis videa

Bonus: Pravidlo pro derivaci složené funkce a pravidlo pro derivaci součinu můžeme využít k důkazu pravidla pro derivaci podílu.

Pravidlo pro derivaci složené funkce nám říká, jak nalézt derivaci podílu:

\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]&=\dfrac{\dfrac{d}{dx}[f(x)]\cdot g(x)-f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)]^2} \\\\\\ &=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}. \end{aligned}

Khan Academy video

Quotient rule from product & chain rulesZobrazit přepis videa

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Diferenciální počet

Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3

Nejprve si dokážeme dvě drobná tvrzení, která pak využijeme k důkazu pravidla pro derivaci složené funkce.

1. Pokud je funkce diferencovatelná, pak je i spojitá.

2. Pokud je funkce uuuu spojitá v xxxx, pak Δu→0\Delta u\to 0Δu→0delta, u, \to, 0 pro Δx→0\Delta x\to 0Δx→0delta, x, \to, 0.

Nyní můžeme přistoupit k důkazu pravidla pro derivaci složené funkce!

Bonus: Pravidlo pro derivaci složené funkce a pravidlo pro derivaci součinu můžeme využít k důkazu pravidla pro derivaci podílu.

Chceš se zapojit do diskuze?

2. Pokud je funkce u spojitá v x, pak delta, u, \to, 0 pro delta, x, \to, 0.