If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Důkaz pravidla pro derivaci složené funkce

Důkaz pravidla pro derivaci složené funkce.
Pravidlo pro derivaci složené funkce nám říká, jak nalézt derivaci složené funkce:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.
Ke zvládnutí tohoto kurzu není znalost důkazu nezbytná, avšak věříme, že jeho pochopení může být poučné. K úplnému pochopení problematiky je vždy důležité umět odůvodnit platnost tvrzení, která při výpočtech používáme.

Nejprve si dokážeme dvě drobná tvrzení, která pak využijeme k důkazu pravidla pro derivaci složené funkce.

(Drobná tvrzení, která jsou využívána k důkazu větší věty, jsou většinou nazývána lemmata.)

1. Pokud je funkce diferencovatelná, pak je i spojitá.

Khan Academy video
Proof: Differentiability implies continuityZobrazit přepis videa

2. Pokud je funkce u spojitá v x, pak delta, u, \to, 0 pro delta, x, \to, 0.

Khan Academy video
If function u is continuous at x, then Δu→0 as Δx→0 Zobrazit přepis videa

Nyní můžeme přistoupit k důkazu pravidla pro derivaci složené funkce!

Khan Academy video
Chain rule proofZobrazit přepis videa

Bonus: Pravidlo pro derivaci složené funkce a pravidlo pro derivaci součinu můžeme využít k důkazu pravidla pro derivaci podílu.

Pravidlo pro derivaci složené funkce nám říká, jak nalézt derivaci podílu:
ddx[f(x)g(x)]=ddx[f(x)]g(x)f(x)ddx[g(x)][g(x)]2=f(x)g(x)f(x)g(x)[g(x)]2.\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]&=\dfrac{\dfrac{d}{dx}[f(x)]\cdot g(x)-f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)]^2} \\\\\\ &=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}. \end{aligned}
Khan Academy video
Quotient rule from product & chain rulesZobrazit přepis videa