Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3
Lekce 11: Logaritmické derivováníPraktický příklad: Derivování složených exponenciálních funkcí
Zderivujeme složenou exponenciální funkci [ln(x)]ˣ a vyčíslíme její derivaci pro x=e. Složené exponenciální funkce jsou funkce, kde je proměnná jak v základu, tak v exponentu.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Je dáno, že y se rovná
(logaritmu x) na x. My chceme zjistit, čemu se rovná
derivace tohoto podle x. Doporučuji vám
pozastavit video a vyzkoušet, jestli to
dokážete vyřešit sami. Když se to poprvé snažíte vyřešit,
je to možná trochu děsivé. Víme, jak zderivovat konstanty
umocněné na nějaké x, ale jak vyřešíme
derivaci nějaké funkce, v tomto případě funkce
logaritmus x umocněné na x? Řešením je využít
logaritmických vlastností a potom budeme
trošku derivovat. Nejdříve uděláme... Přepíšu to, abych
tu měl více místa, tohle je (logaritmus x) na x. Nejdříve se tedy chci zbavit
tohoto x v exponentu, abych pak mohl nějak
použít pravidlo součinu. A jak to uděláme? Zlogaritmujeme obě strany. A můžete si říkat, proč
je to tedy tak užitečné? Když logaritmuji něco
umocněné na nějaký exponent, je to to samé jako... Jen to zapíšu, je to něco, co si můžete
pamatovat z vlastností logaritmu. Když mám logaritmus (a na b),
je to to samé jako b krát logaritmus a. Je to běžná logaritmická vlastnost. Když tedy zlogaritmujeme
obě strany, exponent se posune dopředu
a bude násobit náš logaritmus. Tento exponent tedy můžeme
přenést dopředu a celé to přepíšeme. Dostaneme logaritmus y se rovná... Dám to do závorek. Máme tedy logaritmus y
se rovná x... To x je modře. ...x krát přirozený logaritmus
z přirozeného logaritmu x. A tady to máme. Jen jsme zlogaritmovali obě strany
a použili vlastnosti logaritmů, abychom dostali toto. A teď si jistě říkáte, jak nám to vlastně pomůže? Teď můžeme zderivovat
obě strany tohoto. Tohle si vyříznu a dám napravo,
abychom měli místo na derivaci. Tady to máme přesunuté. A teď pojďme zderivovat
podle x obě strany. Zderivuji tedy levou stranu podle x
a pravou stranu podle x. Na levé straně to bude v podstatě
jen aplikace pravidla o složené funkci. Implicitní derivaci je jen
použití pravidla o složené funkci. Je to derivace vnější
funkce podle vnitřní, takže logaritmus y podle y. Derivace tohoto je 1 lomeno y
krát derivace vnitřní funkce podle x. Takže dy lomeno dx. Což se bude rovnat... Tady to začíná být
o něco zajímavější. Ještě si na téhle
straně něco upravím. Nejdříve tady použiji
pravidlo součinu. Je to derivace prvního členu,
což je 1, krát druhý člen, nejspíš byste ho nazvali funkcí,
takže krát logaritmus z logaritmu x. A potom plus první člen, jenom x,
krát derivace druhého členu. Jaká je derivace logaritmu
z logaritmu x? Uděláme si to zvlášť. Když chci zderivovat podle x
logaritmus z logaritmu x, můžu na to opět použít
pravidlo o složené funkci. Derivace této červené
funkce podle vnitřní funkce, to se rovná 1 lomeno
logaritmus x, a pak krát derivace
vnitřní funkce podle x, takže krát 1 lomeno x. Toto se rovná 1 lomeno
x krát logaritmus x. Derivace tohoto druhého členu je
tedy 1 lomeno (x krát logaritmus x). Podívejte, tohle x a tohle x
se navzájem vyruší, takže nám zbude
1 lomeno y... Napíšu to celé touto
modrou barvou. ...krát derivace
y podle x se rovná... Tohle je logaritmus z logaritmu x
plus 1 lomeno (logaritmus x). Abychom mohli derivaci vyřešit,
vynásobíme obě strany krát y, Vynásobíme tuto stranu krát y
a tuto stranu vynásobíme krát y. A co dostaneme? Na levé straně, proto
jsme to celé násobili y, nám zbude, že derivace
y podle x se rovná... y jsme tady měli zadáno
úplně na začátku. y se rovnalo logaritmu... Přepíšu to ještě sem. ...y se rovnalo
(logaritmu z x) na x. Takže tohle je... Vlastně násobíme obě strany
krát (logaritmus x) na x. Tohle bude trošku nepřehledné. Mohli bychom to napsat,
jak jsem to napsal teď, bez roznásobování. Vlastně, necháme to takhle. Takže to bude... zasloužilo by si to fanfáry,
protože je to celkem složité. Logaritmus z logaritmu x
plus 1 lomeno (logaritmus x), to celé krát (logaritmus x) na x. To bylo celkem složité. A kdyby se někdo ptal, jaká je
derivace y, když x je rovno e? Když se někdo ptá,
čemu se tohle rovná, když x se rovná e, mohli
bychom to spočítat pro x rovno e. Tohle je tedy... Tuhle otázku jsem
si teď vymyslel. Kdyby původní otázka
nebyla, jaké je dy lomeno dx, ale kdyby se ptali, jaké je
dy lomeno dx, když x se rovná e. Kdyby tohle byla původní otázka,
pak bychom to mohli spočítat. Teď tedy všechna
x nahradíme e. Tady bude e, tady
je e, tady je e. A tady také e. Vybral jsem hodnotu e,
protože se jednoduše vyhodnocuje. Logaritmus e je 1,
(logaritmus 1) na 0 je 1, takže toto celé je 0. Logaritmus e je 1, takže tento celý výraz je 0 plus
1 lomeno 1, což je celkem 1. A dále logaritmus e je 1,
takže máme 1 na e. A když umocníme 1 na cokoliv,
vždy dostaneme 1. A 1 krát 1 se rovná 1. Jen jsem si říkal, že by byla zábava,
zkusit to spočítat s hodnotou, se kterou by to bylo
poněkud jasnější.