Derivace inverzního sinu

V tomto videu bych rád zkusil spočítat derivaci y podle x, a to pro y rovná se inverzní sinus v bodě x. Jako vždy doporučuji, abyste si zastavili video a zkusili to vyřešit sami. Dám vám dvě nápovědy. První nápovědou je, že sice neznáme derivaci inverzního sinu v bodě x, ale víme, čemu se rovná derivace sinu něčeho. Když tohle tedy nějak upravíte a zkusíte použít implicitní derivování, tak možná budete schopni zjistit, čemu se rovná dy lomeno dx. Naším cílem je totiž spočítat dy lomeno dx, neboli chceme spočítat derivaci tohoto podle x. Předpokládám, že už jste si to zkusili, teď to pojďme spočítat společně. Když je y rovno inverznímu sinu v bodě x, tak je to totéž jako když řekneme, že sin(y) se rovná x. Tyto výrazy už nám jsou více povědomé. Nyní můžeme použít implicitní derivování. Obě strany zderivujeme podle x, takže derivace levé strany podle x a derivace pravé strany podle x. Čemu se rovná derivace levé strany podle x? Použijeme vzorec pro derivaci složené funkce. Je to derivace sin(y) podle y, což je cos(y), a tohle musíme vynásobit derivací y podle x, tedy krát dy lomeno dx. Na pravé straně máme derivaci x podle x, což se rovná 1. Nyní osamostatníme dy lomeno dx. Obě strany rovnice vydělíme cos(y), čímž dostaneme, že derivace y podle x se rovná 1 lomeno cos(y). Tohle ale ještě není úplně ono, protože máme derivaci vyjádřenou pomocí y. Zkusme ji tedy nějak vyjádřit pomocí x. Jak to můžeme udělat? Už víme, že x se rovná sin(y). Znovu to napíšu. Víme, že x se rovná sin(y). Když v tomto výrazu dole namísto cos(y) napíšeme... Když použijeme nějakou goniometrickou identitu a přepíšeme to pomocí sin(y), tak už budeme na dobré cestě, protože x se rovná sin(y). Tak jak to uděláme? Jednou z goniometrických identit je, že sinus na druhou v bodě y plus kosinus na druhou v bodě y se rovná 1. Když chceme vyjádřit cos(y), tak od obou stran odečteme sinus na druhou v bodě y. Dostaneme, že kosinus na druhou v bodě y se rovná 1 minus sinus na druhou v bodě y, tedy že cos(y), když na obě strany použijeme druhou odmocninu, se rovná odmocnina z (1 minus sinus na druhou v bodě y). Tento výraz tedy můžeme přepsat jako 1 lomeno… Namísto cos(y) napíšeme odmocninu z (1 minus sinus na druhou v bodě y). Proč to takto přepisujeme? Víme, že sin(y) se rovná x, takže tohle se bude rovnat, když dosadíme... Zapíšu to jinak, ať je to trošku jasnější. Tohle můžeme zapsat jako sin(y) to na druhou. Víme, že tohle je x, takže tohle se rovná… Teď bychom si zasloužili menší oslavnou fanfáru. ...se rovná 1 lomeno odmocnina z (1 minus… Namísto sin(y) napíšeme x, protože víme, že x se rovná sin(y). ...1 minus x na druhou. A je to. Derivace podle x z inverzního sinu v bodě x se rovná 1 lomeno odmocnina z (1 minus x na druhou). Ještě jednou to objasním. Kdybyste obě strany této rovnosti zderivovali podle x, dostali byste, že dy lomeno dx se rovná tomuto. Tohle by bylo na pravé straně. Nebo můžeme říct, že derivace podle x z inverzního sinu v bodě x se rovná 1 lomeno odmocnina z (1 minus x na druhou). Tohle si vždy můžete znovu odvodit, kdyby vám paměť přestávala sloužit. Vlastně je to nejlepší způsob, jak to opravdu vstřebat. Tohle je ale zkrátka dobré znát, obzvlášť až půjdeme hloub a hloub do diferenciálního počtu, tak můžete vidět tento výraz a jen si řeknete: „Vida, tohle je přece derivace inverzního sinu,“ což se vám bude hodit vědět.