Derivace implicitní funkce (pokročilý příklad)

Řekněme, že máme vztah y rovná se cos(5 krát x minus 3 krát y). Chceme spočítat, jaká je rychlost změny y vzhledem k x, přičemž předpokládáme, že y je funkcí proměnné x. Udělejme to, co vždycky děláme, tedy použijme na obě strany rovnice operátor derivace. Na levé straně nám vyjde dy lomeno dx, což se rovná... Na pravé straně použijeme vzorec pro derivaci složené funkce. Derivace kosinu něčeho podle toho něčeho se rovná minus sinus toho něčeho. Tedy minus sin(5 krát x minus 3 krát y), což ještě musíme vynásobit derivací onoho něčeho podle x. Jaká je tedy derivace našeho něčeho podle x? Derivace z (5 krát x) podle x je 5 a derivace z (−3 krát y) podle x se rovná −3 krát (dy lomeno dx), tedy −3 krát derivace y podle x. Nyní musíme osamostatnit dy lomeno dx. Jak můžete vidět i v jiných úlohách na implicitní derivování, teď přichází ta nejtěžší část. dy lomeno dx udělám stejnou barvou, abych lépe viděl, kde je mám. Tady je tedy dy lomeno dx. Ještě musím uzavřít závorku. Jak to teď uděláme? Budeme se teď muset prokousat trochou algebry. Můžeme roznásobit sinem z (5 krát x minus 3 krát y). Všechno to přepíšu. Dostaneme, že dy... Ouha, chtěl bych to mít tou žlutou barvou. Dostaneme, že dy lomeno dx se rovná... Když roznásobíme minus sinem z (5 krát x minus 3 krát y), dostaneme... Ještě ujasním, co tu děláme. Vynásobíme to tímhle a pak tímhle. Dostaneme 5 krát tohle, tedy −5 krát sin(5 krát x minus 3 krát y), a potom minus krát minus nám dá plus, takže to bude plus 3 krát sin(5 krát x minus 3 krát y) krát (dy lomeno dx). Nyní můžeme od obou stran odečíst 3 krát sinu z (5 krát x minus 3 krát y). Aby bylo jasno, tak tohle je 1 krát dy lomeno dx, takže když tohle odečteme od obou stran, zbyde nám... Na levé straně máme jedno dy lomeno dx a od toho odečteme 3 krát sin(5 krát x minus 3 krát y) krát (dy lomeno dx), takže budeme mít (1 minus 3... 3 nechám jen tak pro legraci stejnou barvou. ...3 krát sin(5 krát x minus 3 krát y)) krát (dy lomeno dx). To bude na levé straně. Tohle se rovná... Tohle jsme odečetli od obou stran, takže na pravé straně to zmizí a zbude −5 krát sinus z (5 krát x minus 3 krát y). Teď už je skoro hotovo, protože abychom osamostatnili dy lomeno dx, musíme obě strany rovnice vydělit tímhle. Zbude nám, že dy lomeno dx se rovná tomuhle, tedy −5 krát sinus z (5 krát x minus 3 krát y), to celé lomeno (1 minus 3 krát sinus z (5 krát x minus 3 krát y)). A máme hotovo.