Derivace implicitní funkce (pokročilý příklad)

Opět zde mám nějaký šílený vztah mezi x a y. Abyste měli lepší představu, jak tohle asi vypadá, tak když nakreslíme graf se všemi x a y splňujícími tento vztah, vyjde nám tenhle pěkný čtyřlístek. Tenhle graf jsem nakreslil pomocí Wolframu Alpha. V tomto videu nás bude zajímat, jak už jste asi poznali z jeho názvu, jak lze spočítat rychlost změny y vzhledem k x. Budeme to muset spočítat implicitně. Budeme muset spočítat implicitní derivaci tohohle. Tohle budeme muset implicitně zderivovat. Zderivujeme to implicitně. Na obě strany tedy použijme náš operátor derivace. Tedy derivace podle x z levé strany a derivace podle x z pravé strany. Opět použijeme vzorec pro derivaci složené funkce. Derivace něčeho na třetí podle toho něčeho je 3 krát to něco umocněné na druhou, což ještě musíme vynásobit derivací toho něčeho podle x. Derivace tohoto podle x se rovná 2 krát x, taková je totiž derivace (x na druhou) podle x, plus derivace (y na druhou) podle x, což je 2 krát y krát derivace y podle x. Opět zde používáme vzorec pro derivaci složené funkce. Je to derivace něčeho na druhou podle toho něčeho, což je 2 krát y, krát derivace toho něčeho podle x, což je dy lomeno dx. Tohle se rovná tomu, co máme na pravé straně. Máme zde 5 krát (x na druhou) krát (y na druhou). 5 nás zatím nemusí nijak zajímat. 5 můžeme napsat před derivaci, protože derivace z (5 krát něco) je totéž jako 5 krát derivace něčeho. Nyní použijeme vzorec pro derivaci součinu, takže to bude 5 krát... Derivace (x na druhou) je 2 krát x, což musíme vynásobit (y na druhou), jde o derivaci první funkce vynásobenou druhou funkcí, plus první funkce, nikoliv její derivace, tedy x na druhou, krát derivace druhé funkce. Čemu se rovná derivace (y na druhou) podle x? To už jsme tady spočítali. Je to derivace (y na druhou) podle y, což je 2 krát y, krát derivace y podle x. Ještě ujasním, co jsem teď udělal. Tohle je tady a zde je derivace, tedy když jsem na tohle použil operátor derivace. Obdobně tohle je tady, a když jsem na to použil operátor derivace, tak mi vyšlo tohle. Tohle je derivace podle x. Nyní zkusme nějak osamostatnit dy lomeno dx. Na levé straně vynásobíme tímto fialovým výrazem oba tyhle členy. Když fialovým výrazem vynásobíme tenhle člen, dostaneme 3 krát 2 krát x, což je 6 krát x, krát (x na druhou plus y na druhou) na druhou. Když fialovým výrazem vynásobíme tento člen, dostaneme plus 2 krát y krát 3, což je 6 krát y, krát (x na druhou plus y na druhou)... Jen se ujistím. 2 krát y krát 3 je 6 krát y, tohle krát (x na druhou plus y na druhou) na druhou a ještě krát (dy lomeno dx), což nechám napsané stejnou zelenou barvou. Tohle se rovná... 5 můžeme vynásobit tímto výrazem... Všechno kromě dy lomeno dx teď budu psát fialovou. Vynásobíme tedy 5 s tímto výrazem, čímž dostaneme 10 krát x krát (y na druhou), a 5 krát tohle celé se rovná plus 10 krát (x na druhou) krát y krát (dy lomeno dx). Udělal jsem to dobře? Ano, vypadá to správně. Nyní musíme osamostatnit dy lomeno dx, takže odečtu 10 krát (x na druhou) krát y krát (dy lomeno dx) od obou stran. 10 krát (x na druhou) krát y krát (dy lomeno dx), tedy derivace... To není zelená. ...derivace y podle x. Tohle odečtu od obou stran, abych měl (dy lomeno dx) jen na levé straně. dy lomeno dx. Odečtu ještě tento výraz, tedy odečtu 6 krát x krát tahle šílenost od obou stran. Takže minus 6 krát x krát (x na druhou plus y na druhou) na druhou. Odečtu to i odsud. Minus 6 krát x krát (x na druhou plus y na druhou) na druhou. Co nám zbyde? Tohle se navzájem odečte. Na levé straně nám zbyde 6 krát y krát (x na druhou plus y na druhou) na druhou minus 10 krát (x na druhou) krát y, tohle všechno krát (dy lomeno dx), tedy krát derivace y podle x. To se rovná... Tyhle členy se navzájem odečtou. Zbyde nám 10 krát x krát (y na druhou), od čehož odečteme 6 krát x krát (x na druhou plus y na druhou) na druhou. Když teď chceme osamostatnit dy lomeno dx, tak musíme obě strany rovnice vydělit tímhle výrazem. Dostaneme, že derivace y podle x... Teď si zasloužíme oslavnou fanfáru. Derivace y podle x se rovná tomuhle celému... Jen to zkopíruji a vložím sem dolů. ...tomuhle celému dělenému tímhle vším. Opět to jenom zkopíruji. Ještě musím nakreslit zlomkovou čáru. A máme hotovo. Spočítali jsme... Je to sice poměrně ošklivý výraz, ale nezabralo nám to zase tolik času. ...čemu se rovná derivace y podle x v každém bodě. Takže když chcete zjistit, jaká je směrnice tečny v bodě... Udělám to nějakou barvou, kterou půjde vidět. Jaká je směrnice tečny v tomto bodě, tak musíte zjistit x-ovou souřadnici toho bodu, mohli byste říct, že x je třeba tato hodnota, a pak byste odsud spočítali, čemu se rovná y. Tato x a y byste následně dosadili do tohoto ošklivého výrazu, čímž už byste spočítali směrnici této tečny.