Derivace implicitní funkce (pokročilý příklad)

Zkusme implicitně zderivovat tento poněkud šílený vztah. Tady je graf, na kterém můžete vidět, že jde skutečně o docela bizarní vztah. e na (x krát y na druhou) se rovná x minus y. Tady máme některá x a y, která se vešla do grafu a vyhovují tomuto vztahu. Pojďme obě strany zderivovat. Na obě strany tedy použijeme operátor derivace. Tohle je možná příhodná chvíle k tomu, abychom si ukázali různá značení. Většinou používáme tohle značení, ale často se můžete setkat s operátorem derivace zapsaným jako velké tiskací D, takže to teď zapišme třeba takto. Raději to ujasním. Toto je totéž jako napsat d lomeno dx. Použiji zde operátor zapsaný jako velké tiskací D, abyste si zvykli i na tento zápis. Namísto dy lomeno dx, když chceme napsat derivaci y podle x, budu psát y s čárkou, abychom si trochu procvičili různá značení. Spočítejme teď derivaci tohohle. Použijeme vzorec pro derivaci složené funkce, dokonce ho použijeme několikrát. Derivace (e na něco) podle toho něčeho je e na to něco, což ještě musíme vynásobit derivací toho něčeho podle x, tedy krát derivace z (x krát y na druhou). Tak vypadá levá strana, ale ještě jsme nespočítali tuhle derivaci. Na pravé straně... Derivace x je 1 a derivace podle ‚x‘ z ‚y‘ se rovná minus dy lomeno dx, ale místo dy lomeno dx napíšu y s čárkou. Jak asi vidíte, mám raději tenhle zápis, protože je z něho jasné, že derivujeme podle x, zatímco zde musíme předpokládat, že derivujeme podle x, stejně tak zde musíme předpokládat, že jde o derivaci y podle x. Držme se ale tohoto značení. A pokaždé... Všechna y s čárkou, tedy všechny derivace podle x, nebo spíše derivace y podle x, napíšu růžovou, abych lépe viděl, kde jsou. Toto se rovná e na (x krát y na druhou), to celé krát derivace tohohle. Na derivaci tohohle použijeme vzorce pro derivaci součinu a složené funkce. Derivace x je 1, což musíme vynásobit druhou funkcí, tedy krát y na druhou, a k tomu musíme přičíst součin první funkce, což je x, krát derivace (y na druhou) podle x. Ta se rovná derivaci (y na druhou) podle y, což je 2 krát y, vynásobené derivací y podle x, kterou nyní značíme jako y s čárkou. Tohle celé je rovno 1 minus y s čárkou. Jako jsme to dělali už dříve, musíme nyní osamostatnit y s čárkou. Roznásobme nejdřív touhle exponenciální funkcí, tímhle e na (x krát y na druhou), čímž dostaneme, že e... Nebo bych spíš měl říct, že (y na druhou) krát e umocněné na (x krát y na druhou), to je tenhle člen, plus 2 krát x krát y krát e umocněné na (x krát y na druhou) krát y s čárkou, což je derivace y podle x. To se rovná 1 minus derivace y podle x. Nyní přesuneme všechna y s čárkou na jednu stranu, takže k oběma stranám přičteme y s čárkou. Přičteme... Aby to bylo jasné, tak k oběma stranám přičítám jedno y s čárkou. K oběma stranám přičteme y s čárkou a od obou stran odečteme tento výraz. Od obou stran tedy odečteme (y na druhou) krát e umocněné na (x krát y na druhou). Odečítáme od obou stran, takže i zde odečteme (y na druhou) krát e umocněné na (x krát y na druhou). Zbyde nám (2xy krát e umocněné na (x krát y na druhou) plus 1) krát y s čárkou. Měli jsme tolik y s čárkou a přidali jsme další y s čárkou, takže teď máme tolik a ještě plus 1 y s čárkou. Tohle se rovná... Schválně jsem k oběma stranám přičetl y s čárkou, takže zbyde 1 minus tento šílený výraz, a to (y na druhou) krát e umocněné na (x krát y na druhou). Nyní už jen musíme obě strany vydělit tímhle. Vyjde nám, že derivace y podle x se rovná tomuhle, což jen zkopíruji a vložím sem... Raději to přepíšu. Rovná se to 1 lomeno... Sjedu trochu níž. Rovná se to 1 minus (y na druhou krát e umocněné na (x krát y na druhou)), to celé lomeno tímhle výrazem, tedy 2... Budu potřebovat víc místa. ...2 krát x krát y krát e umocněné na (x krát y na druhou), tohle celé plus 1. A máme hotovo. Bylo to trochu šílené, ale v zásadě nijak různé od toho, co jsme dělali v několika předchozích příkladech.