Pokud vidíš tuto zprávu, znamená to, že máš problém s načítáním externích zdrojů na našich stránkách.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hlavní obsah

Derivace implicitní funkce (pokročilý příklad)

Najdeme dy/dx pro e^(xy²)=x-y za pomoci derivace implicitní funkce. Tvůrce: Sal Khan.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Transkript

Zkusme implicitně zderivovat tento poněkud šílený vztah. Tady je graf, na kterém můžete vidět, že jde skutečně o docela bizarní vztah. e na (x krát y na druhou) se rovná x minus y. Tady máme některá x a y, která se vešla do grafu a vyhovují tomuto vztahu. Pojďme obě strany zderivovat. Na obě strany tedy použijeme operátor derivace. Tohle je možná příhodná chvíle k tomu, abychom si ukázali různá značení. Většinou používáme tohle značení, ale často se můžete setkat s operátorem derivace zapsaným jako velké tiskací D, takže to teď zapišme třeba takto. Raději to ujasním. Toto je totéž jako napsat d lomeno dx. Použiji zde operátor zapsaný jako velké tiskací D, abyste si zvykli i na tento zápis. Namísto dy lomeno dx, když chceme napsat derivaci y podle x, budu psát y s čárkou, abychom si trochu procvičili různá značení. Spočítejme teď derivaci tohohle. Použijeme vzorec pro derivaci složené funkce, dokonce ho použijeme několikrát. Derivace (e na něco) podle toho něčeho je e na to něco, což ještě musíme vynásobit derivací toho něčeho podle x, tedy krát derivace z (x krát y na druhou). Tak vypadá levá strana, ale ještě jsme nespočítali tuhle derivaci. Na pravé straně... Derivace x je 1 a derivace podle ‚x‘ z ‚y‘ se rovná minus dy lomeno dx, ale místo dy lomeno dx napíšu y s čárkou. Jak asi vidíte, mám raději tenhle zápis, protože je z něho jasné, že derivujeme podle x, zatímco zde musíme předpokládat, že derivujeme podle x, stejně tak zde musíme předpokládat, že jde o derivaci y podle x. Držme se ale tohoto značení. A pokaždé... Všechna y s čárkou, tedy všechny derivace podle x, nebo spíše derivace y podle x, napíšu růžovou, abych lépe viděl, kde jsou. Toto se rovná e na (x krát y na druhou), to celé krát derivace tohohle. Na derivaci tohohle použijeme vzorce pro derivaci součinu a složené funkce. Derivace x je 1, což musíme vynásobit druhou funkcí, tedy krát y na druhou, a k tomu musíme přičíst součin první funkce, což je x, krát derivace (y na druhou) podle x. Ta se rovná derivaci (y na druhou) podle y, což je 2 krát y, vynásobené derivací y podle x, kterou nyní značíme jako y s čárkou. Tohle celé je rovno 1 minus y s čárkou. Jako jsme to dělali už dříve, musíme nyní osamostatnit y s čárkou. Roznásobme nejdřív touhle exponenciální funkcí, tímhle e na (x krát y na druhou), čímž dostaneme, že e... Nebo bych spíš měl říct, že (y na druhou) krát e umocněné na (x krát y na druhou), to je tenhle člen, plus 2 krát x krát y krát e umocněné na (x krát y na druhou) krát y s čárkou, což je derivace y podle x. To se rovná 1 minus derivace y podle x. Nyní přesuneme všechna y s čárkou na jednu stranu, takže k oběma stranám přičteme y s čárkou. Přičteme... Aby to bylo jasné, tak k oběma stranám přičítám jedno y s čárkou. K oběma stranám přičteme y s čárkou a od obou stran odečteme tento výraz. Od obou stran tedy odečteme (y na druhou) krát e umocněné na (x krát y na druhou). Odečítáme od obou stran, takže i zde odečteme (y na druhou) krát e umocněné na (x krát y na druhou). Zbyde nám (2xy krát e umocněné na (x krát y na druhou) plus 1) krát y s čárkou. Měli jsme tolik y s čárkou a přidali jsme další y s čárkou, takže teď máme tolik a ještě plus 1 y s čárkou. Tohle se rovná... Schválně jsem k oběma stranám přičetl y s čárkou, takže zbyde 1 minus tento šílený výraz, a to (y na druhou) krát e umocněné na (x krát y na druhou). Nyní už jen musíme obě strany vydělit tímhle. Vyjde nám, že derivace y podle x se rovná tomuhle, což jen zkopíruji a vložím sem... Raději to přepíšu. Rovná se to 1 lomeno... Sjedu trochu níž. Rovná se to 1 minus (y na druhou krát e umocněné na (x krát y na druhou)), to celé lomeno tímhle výrazem, tedy 2... Budu potřebovat víc místa. ...2 krát x krát y krát e umocněné na (x krát y na druhou), tohle celé plus 1. A máme hotovo. Bylo to trochu šílené, ale v zásadě nijak různé od toho, co jsme dělali v několika předchozích příkladech.