If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Zamaskované derivace

Představíme složitou limitu, jakožto výraz popisující pětinásobek derivace log(x) v x=2. Toto je způsob, jak můžeme vyčíslit limitu za použití pravidel pro derivování, místo přímého výpočtu limity (což je těžké!).

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Transkript

Podívejme se, jestli dokážeme najít limitu, kde h se blíží k 0, funkce 5 krát logaritmus (2 plus h) minus 5 krát logaritmus 2 to celé lomeno h. Dám vám malou nápovědu, jelikož vím, že si zastavíte video a zkusíte to vyřešit sami. Zamyslete se nad vlastnostmi derivace, zejména logaritmických funkcí, v tomto případě o základu 10. Pokud někdo napíše jen log bez základu, můžete předpokládat, že základ je 10. Zastavte na chvíli video a zkuste to spočítat sami. Základem je si pamatovat, že pokud mám funkci f(x) a chci najít derivaci funkce f v nějakém čísle, řekněme v bodě a, bude se to rovnat limitě, kde h se blíží k 0, z funkce f(a plus h) minus f(a) to celé lomeno h. Toto vypadá velmi podobně této definici limity až na to, že zde násobíme 5. Naštěstí můžeme tyto 5 vytknout. Můžeme je vytknout sem dopředu. Ale jelikož dostaneme číslo krát výraz, víme z vlastností limit, že je můžeme vytknout rovnou sem před limitu. Pojďme to udělat. Vezmeme obě čísla 5 a vytkneme je. Toto celé se tedy zjednoduší na: 5 krát limita, kde h se blíží k 0, logaritmu (2 plus h) minus logaritmus 2 to celé lomeno h. Pojďme se teď zaměřit na tuto žlutou část. Pojďme se nad tím zamyslet. Když máme f(x) rovno logaritmu x a chceme vědět, jaká je derivace f, řekněme v bodě 2? To by byla limita, kde h se blíží k 0, logaritmu (2 plus h) minus logaritmus 2 to celé lomeno h. Toto zde je tedy z definice f'(2). Pokud f(x) je logaritmus x, potom toto je derivace f v bodě 2. Můžeme to tedy vyřešit? Když f(x) je logaritmus x, čemu se rovná derivace f v bodě x? Nemusíme použít definici přes limitu. Ve skutečnosti je to u této limity docela složité. Víme ale, jak derivovat logaritmické funkce. Takže f'(x) bude rovno 1 lomeno přirozený logaritmus našeho základu. O tom už jsme mluvili na začátku, náš základ je 10. Tedy 1 lomeno přirozený logaritmus 10 krát x. Kdyby toto byl přirozený logaritmus, potom toto by bylo 1 lomeno přirozený logaritmus e krát x. Přirozený logaritmus e je 1, dostáváme tedy 1 lomeno x. Pokud ale máme jiný základ, dáme přirozený logaritmus toho základu do jmenovatele. Takže jaká je derivace funkce f v bodě 2? f'(2) je 1 lomeno přirozený logaritmus 10 krát 2. Takže tato celá věc se zjednodušila na 5 krát toto. Mohu to tedy napsat jako 5 lomeno přirozený logaritmus 10 krát 2. Neboli 2 krát přirozený logaritmus 10. Klíčem pro tento typ cvičení je zkusit vypočítat tuto limitu. Všimnout si, že to vypadá jako derivace logaritmické funkce. Obzvláště jako derivace, kde x je rovno 2. Pouze je potřeba vytknout tyto 5. Vytkneme 5 a řekneme si, že toto je derivace logaritmu x, kde x je rovno 2. A my víme, jak vypočítat derivaci logaritmu x. Pokud to nevíte, je na to video, kde jsme toto dokazovali. Vezmete logaritmus jiného základ než e a použijete to k nalezení derivace. Vypočítáte v bodě 2 a jste hotovi.