Zamaskované derivace

Podívejme se, jestli dokážeme najít limitu, kde h se blíží k 0, funkce 5 krát logaritmus (2 plus h) minus 5 krát logaritmus 2 to celé lomeno h. Dám vám malou nápovědu, jelikož vím, že si zastavíte video a zkusíte to vyřešit sami. Zamyslete se nad vlastnostmi derivace, zejména logaritmických funkcí, v tomto případě o základu 10. Pokud někdo napíše jen log bez základu, můžete předpokládat, že základ je 10. Zastavte na chvíli video a zkuste to spočítat sami. Základem je si pamatovat, že pokud mám funkci f(x) a chci najít derivaci funkce f v nějakém čísle, řekněme v bodě a, bude se to rovnat limitě, kde h se blíží k 0, z funkce f(a plus h) minus f(a) to celé lomeno h. Toto vypadá velmi podobně této definici limity až na to, že zde násobíme 5. Naštěstí můžeme tyto 5 vytknout. Můžeme je vytknout sem dopředu. Ale jelikož dostaneme číslo krát výraz, víme z vlastností limit, že je můžeme vytknout rovnou sem před limitu. Pojďme to udělat. Vezmeme obě čísla 5 a vytkneme je. Toto celé se tedy zjednoduší na: 5 krát limita, kde h se blíží k 0, logaritmu (2 plus h) minus logaritmus 2 to celé lomeno h. Pojďme se teď zaměřit na tuto žlutou část. Pojďme se nad tím zamyslet. Když máme f(x) rovno logaritmu x a chceme vědět, jaká je derivace f, řekněme v bodě 2? To by byla limita, kde h se blíží k 0, logaritmu (2 plus h) minus logaritmus 2 to celé lomeno h. Toto zde je tedy z definice f'(2). Pokud f(x) je logaritmus x, potom toto je derivace f v bodě 2. Můžeme to tedy vyřešit? Když f(x) je logaritmus x, čemu se rovná derivace f v bodě x? Nemusíme použít definici přes limitu. Ve skutečnosti je to u této limity docela složité. Víme ale, jak derivovat logaritmické funkce. Takže f'(x) bude rovno 1 lomeno přirozený logaritmus našeho základu. O tom už jsme mluvili na začátku, náš základ je 10. Tedy 1 lomeno přirozený logaritmus 10 krát x. Kdyby toto byl přirozený logaritmus, potom toto by bylo 1 lomeno přirozený logaritmus e krát x. Přirozený logaritmus e je 1, dostáváme tedy 1 lomeno x. Pokud ale máme jiný základ, dáme přirozený logaritmus toho základu do jmenovatele. Takže jaká je derivace funkce f v bodě 2? f'(2) je 1 lomeno přirozený logaritmus 10 krát 2. Takže tato celá věc se zjednodušila na 5 krát toto. Mohu to tedy napsat jako 5 lomeno přirozený logaritmus 10 krát 2. Neboli 2 krát přirozený logaritmus 10. Klíčem pro tento typ cvičení je zkusit vypočítat tuto limitu. Všimnout si, že to vypadá jako derivace logaritmické funkce. Obzvláště jako derivace, kde x je rovno 2. Pouze je potřeba vytknout tyto 5. Vytkneme 5 a řekneme si, že toto je derivace logaritmu x, kde x je rovno 2. A my víme, jak vypočítat derivaci logaritmu x. Pokud to nevíte, je na to video, kde jsme toto dokazovali. Vezmete logaritmus jiného základ než e a použijete to k nalezení derivace. Vypočítáte v bodě 2 a jste hotovi.