Podívejme se, jestli dokážeme
najít limitu, kde h se blíží k 0, funkce 5 krát logaritmus (2 plus h)
minus 5 krát logaritmus 2 to celé lomeno h. Dám vám malou
nápovědu, jelikož vím, že si zastavíte video
a zkusíte to vyřešit sami. Zamyslete se nad
vlastnostmi derivace, zejména logaritmických funkcí,
v tomto případě o základu 10. Pokud někdo napíše jen
log bez základu, můžete předpokládat,
že základ je 10. Zastavte na chvíli video
a zkuste to spočítat sami. Základem je si pamatovat,
že pokud mám funkci f(x) a chci najít derivaci funkce f v
nějakém čísle, řekněme v bodě a, bude se to rovnat limitě,
kde h se blíží k 0, z funkce f(a plus h) minus
f(a) to celé lomeno h. Toto vypadá velmi podobně
této definici limity až na to, že zde násobíme 5. Naštěstí můžeme
tyto 5 vytknout. Můžeme je vytknout
sem dopředu. Ale jelikož dostaneme
číslo krát výraz, víme z vlastností limit, že je můžeme
vytknout rovnou sem před limitu. Pojďme to udělat. Vezmeme obě čísla
5 a vytkneme je. Toto celé se tedy
zjednoduší na: 5 krát limita,
kde h se blíží k 0, logaritmu (2 plus h) minus
logaritmus 2 to celé lomeno h. Pojďme se teď zaměřit
na tuto žlutou část. Pojďme se nad
tím zamyslet. Když máme f(x)
rovno logaritmu x a chceme vědět, jaká je
derivace f, řekněme v bodě 2? To by byla limita,
kde h se blíží k 0, logaritmu (2 plus h) minus
logaritmus 2 to celé lomeno h. Toto zde je tedy
z definice f'(2). Pokud f(x) je
logaritmus x, potom toto je
derivace f v bodě 2. Můžeme to
tedy vyřešit? Když f(x) je logaritmus x,
čemu se rovná derivace f v bodě x? Nemusíme použít
definici přes limitu. Ve skutečnosti je to u
této limity docela složité. Víme ale, jak derivovat
logaritmické funkce. Takže f'(x) bude rovno 1 lomeno
přirozený logaritmus našeho základu. O tom už jsme mluvili na začátku,
náš základ je 10. Tedy 1 lomeno přirozený
logaritmus 10 krát x. Kdyby toto byl
přirozený logaritmus, potom toto by bylo 1 lomeno
přirozený logaritmus e krát x. Přirozený logaritmus e je 1,
dostáváme tedy 1 lomeno x. Pokud ale máme jiný základ, dáme přirozený
logaritmus toho základu do jmenovatele. Takže jaká je derivace
funkce f v bodě 2? f'(2) je 1 lomeno přirozený
logaritmus 10 krát 2. Takže tato celá věc se
zjednodušila na 5 krát toto. Mohu to tedy napsat jako 5 lomeno
přirozený logaritmus 10 krát 2. Neboli 2 krát přirozený
logaritmus 10. Klíčem pro tento typ cvičení
je zkusit vypočítat tuto limitu. Všimnout si, že to vypadá
jako derivace logaritmické funkce. Obzvláště jako derivace,
kde x je rovno 2. Pouze je potřeba
vytknout tyto 5. Vytkneme 5 a
řekneme si, že toto je derivace logaritmu x,
kde x je rovno 2. A my víme, jak vypočítat
derivaci logaritmu x. Pokud to nevíte,
je na to video, kde jsme
toto dokazovali. Vezmete logaritmus
jiného základ než e a použijete to k
nalezení derivace. Vypočítáte v bodě
2 a jste hotovi.