Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3
Lekce 10: Zamaskované derivaceZamaskované derivace
Představíme složitou limitu, jakožto výraz popisující pětinásobek derivace log(x) v x=2. Toto je způsob, jak můžeme vyčíslit limitu za použití pravidel pro derivování, místo přímého výpočtu limity (což je těžké!).
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Podívejme se, jestli dokážeme
najít limitu, kde h se blíží k 0, funkce 5 krát logaritmus (2 plus h)
minus 5 krát logaritmus 2 to celé lomeno h. Dám vám malou
nápovědu, jelikož vím, že si zastavíte video
a zkusíte to vyřešit sami. Zamyslete se nad
vlastnostmi derivace, zejména logaritmických funkcí,
v tomto případě o základu 10. Pokud někdo napíše jen
log bez základu, můžete předpokládat,
že základ je 10. Zastavte na chvíli video
a zkuste to spočítat sami. Základem je si pamatovat,
že pokud mám funkci f(x) a chci najít derivaci funkce f v
nějakém čísle, řekněme v bodě a, bude se to rovnat limitě,
kde h se blíží k 0, z funkce f(a plus h) minus
f(a) to celé lomeno h. Toto vypadá velmi podobně
této definici limity až na to, že zde násobíme 5. Naštěstí můžeme
tyto 5 vytknout. Můžeme je vytknout
sem dopředu. Ale jelikož dostaneme
číslo krát výraz, víme z vlastností limit, že je můžeme
vytknout rovnou sem před limitu. Pojďme to udělat. Vezmeme obě čísla
5 a vytkneme je. Toto celé se tedy
zjednoduší na: 5 krát limita,
kde h se blíží k 0, logaritmu (2 plus h) minus
logaritmus 2 to celé lomeno h. Pojďme se teď zaměřit
na tuto žlutou část. Pojďme se nad
tím zamyslet. Když máme f(x)
rovno logaritmu x a chceme vědět, jaká je
derivace f, řekněme v bodě 2? To by byla limita,
kde h se blíží k 0, logaritmu (2 plus h) minus
logaritmus 2 to celé lomeno h. Toto zde je tedy
z definice f'(2). Pokud f(x) je
logaritmus x, potom toto je
derivace f v bodě 2. Můžeme to
tedy vyřešit? Když f(x) je logaritmus x,
čemu se rovná derivace f v bodě x? Nemusíme použít
definici přes limitu. Ve skutečnosti je to u
této limity docela složité. Víme ale, jak derivovat
logaritmické funkce. Takže f'(x) bude rovno 1 lomeno
přirozený logaritmus našeho základu. O tom už jsme mluvili na začátku,
náš základ je 10. Tedy 1 lomeno přirozený
logaritmus 10 krát x. Kdyby toto byl
přirozený logaritmus, potom toto by bylo 1 lomeno
přirozený logaritmus e krát x. Přirozený logaritmus e je 1,
dostáváme tedy 1 lomeno x. Pokud ale máme jiný základ, dáme přirozený
logaritmus toho základu do jmenovatele. Takže jaká je derivace
funkce f v bodě 2? f'(2) je 1 lomeno přirozený
logaritmus 10 krát 2. Takže tato celá věc se
zjednodušila na 5 krát toto. Mohu to tedy napsat jako 5 lomeno
přirozený logaritmus 10 krát 2. Neboli 2 krát přirozený
logaritmus 10. Klíčem pro tento typ cvičení
je zkusit vypočítat tuto limitu. Všimnout si, že to vypadá
jako derivace logaritmické funkce. Obzvláště jako derivace,
kde x je rovno 2. Pouze je potřeba
vytknout tyto 5. Vytkneme 5 a
řekneme si, že toto je derivace logaritmu x,
kde x je rovno 2. A my víme, jak vypočítat
derivaci logaritmu x. Pokud to nevíte,
je na to video, kde jsme
toto dokazovali. Vezmete logaritmus
jiného základ než e a použijete to k
nalezení derivace. Vypočítáte v bodě
2 a jste hotovi.