Derivace eᶜᵒˢˣ⋅cos(eˣ)

Využijme toho, co víme o pravidlech pro derivaci složené funkce a součinu, a zderivujme tento divný výraz. Chceme spočítat derivaci z (e na cos(x) vynásobené cos(e na x)). Tak to pojďme zderivovat. Na tohle se můžeme dívat jako na součin dvou funkcí. Podle pravidla pro derivaci součinu se tohle rovná: derivaci podle x z (e na cos(x)), to celé krát cos(e na x), plus první funkce, tedy e na cos(x), vynásobená derivací druhé funkce, tedy krát derivace podle x z cos(e na x). Teď už jen potřebujeme spočítat tyhle dvě derivace. Asi už vidíte, že můžeme použít pravidlo pro derivaci složené funkce. Ještě to ujasním. Tohle nám vyšlo díky pravidlu pro derivaci součinu. Na výpočet těchto derivací je ale třeba vzorec pro derivaci složené funkce. Zamysleme se nad tím. Derivace... Jen si to zkopíruji a vložím sem, abych to nemusel zase psát. Zamysleme se nejprve nad derivací funkce e na cos(x). Naší vnější funkcí bude funkce e na něco. Derivací e na něco podle toho něčeho je e na to něco. Bude to tedy e na cos(x)... Napíšu to tou stejnou modrou barvou. ...bude to e... Vlastně to raději udělám jinou barvou, třeba růžovou. Derivací e na něco podle toho něčeho je e na to něco, takže tady bude e na cos(x), což ještě musíme vynásobit derivací toho něčeho podle x. Čemu se rovná derivace cos(x) podle x? To je −sin(x), takže to vynásobíme −sin(x). Tím jsme spočítali tuhle derivaci. Ještě to ujasním. Toto je derivace (e na cos(x)) podle cos(x) a tohle je derivace cos(x) podle x. Podle pravidla o derivaci složené funkce musíme tyhle dvě derivace vynásobit. To bychom měli. Nyní spočítejme tuto derivaci. Chceme spočítat derivaci podle x z cos(e na x). Opět ji zkopíruji a vložím dolů. Tohle tedy chceme spočítat. Nejprve jako předtím použijeme pravidlo pro derivaci složené funkce. Musíme spočítat derivaci kosinu něčeho, v tomto případě e na x, podle toho něčeho. Tohle se tedy rovná... Derivace kosinu něčeho podle toho něčeho je −sinus toho něčeho, tedy −sin(e na x). Toto je derivace cos(e na x) podle (e na x). Tohle ještě musíme vynásobit derivací onoho něčeho podle x. Udělám to touhle... Dochází mi barvy. ...udělám to touhle zelenou. Derivace (e na x) podle x je zase e na x. Tohle je tedy derivace (e na x) podle x. V podstatě teď máme hotovo, jen do původního výrazu dosadíme, co nám dal vzorec pro derivaci složené funkce. Derivace tohoto výrazu nahoře se rovná... Celé to opět zkopíruji a vložím dolů. Toto se tedy rovná tomuhle krát cos(e na x), takže to bude... e na cos(x) a tohle minus můžeme napsat dopředu, takže to můžeme napsat jako −(e na cos(x)), tohle krát sin(x) krát cos(e na x). To je tento první člen. K tomu nyní přičteme e na cos(x) vynásobené tímhle celým. Minus můžeme opět napsat dopředu, tak to hned udělejme. Tady tak budeme mít minus... (e na cos(x)) krát (e na x), to můžu napsat takto. (e na x) krát (e na cos(x)). To bychom mohli zjednodušit, protože násobíme dvě mocniny o stejném základu, ale já to nechám takhle. (e na x) krát (e na cos(x)) krát sinus... Minus už máme tady, takže to bude jen sin(e na x). ...krát sin(e na x). Měli jsme minus sin(e na x) krát (e na x), tady je také minus sin(e na x) krát (e na x), což jsme ještě vynásobili e na cos(x). Tady dole tak máme opravdu to stejné. A máme hotovo.