Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3
Lekce 8: Derivování za pomoci více pravidel- Derivování za pomoci různých pravidel: strategie
- Derivování za pomoci různých pravidel: strategie
- Použití pravidla pro derivaci složené funkce a pravidla pro derivaci součinu
- Dvojnásobné použití pravidla pro derivaci složené funkce
- Derivace eᶜᵒˢˣ⋅cos(eˣ)
- Derivace sin(ln(x²))
- Derivování za pomoci více pravidel
- Pravidlo o derivaci součinu k nalezení derivace součinu tří funkcí.
Derivace sin(ln(x²))
Zderivujeme sin(ln(x²)) dvojnásobným použitím pravidla pro derivaci složené funkce. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu zkusíme
zderivovat sinus z ln(x na druhou). Máme tedy složenou funkci,
která je složená z další složené funkce. Můžeme se na to dívat tak,
že když se f(x) rovná sin(x), g(x) je přirozený logaritmus z x
a h(x) se rovná x na druhou, tak se tohle rovná derivaci podle x z
funkce f v bodě (g v bodě h(x)). Chtěl bych teď ukázat,
jak bych to dělal ve své hlavě, aniž bych vypisoval celý
vzorec pro derivaci složené funkce. Kdybych to dělal v hlavě,
tak bych se na to díval tak, že jde o derivaci této vnější funkce f
podle celé složené funkce uvnitř. Derivace sin(x) je cos(x), ale místo kosinu v bodě x to bude
kosinus toho, co bylo tady uvnitř, tedy kosinus z
přirozeného logaritmu... Napíšu to tou
stejnou barvou. ...kosinus z ln(x na druhou). x udělám tou
samou žlutou barvou. Kosinus a tady bude
x na druhou. Na tuhle část, kterou
jsem právě napsal, se můžeme dívat jako na f s čárkou
v bodě (g v bodě h(x)). Aby v tom bylo jasno, tak jsem zderivoval
vnější funkci podle toho, co bylo uvnitř. Nyní musím zderivovat
vnitřek podle x, ale to je další
složená funkce, takže tohle vynásobíme, opět podle
vzorce pro derivaci složené funkce, derivací tohoto přirozeného
logaritmu podle (x na druhou). Derivace přirozeného
logaritmu z x je 1 lomeno x, ale my zde budeme mít nikoliv
1 lomeno x, ale 1 lomeno (x na druhou). Aby to opět bylo jasné,
tak tato část je g s čárkou v... Ne v bodě x, protože kdyby šlo o g(x)
s čárkou, tak by tu bylo 1 lomeno x, ale místo x tu máme h(x)
neboli x na druhou, takže je to g s čárkou
v bodě (x na druhou). Nakonec zderivujeme
naši vnitřní funkci... Tohle napíšu jako
g s čárkou v bodě h(x). Nakonec zderivujeme funkci
nejvíc vevnitř podle x, což je derivace z
(2 krát x) podle x... Bude to derivace z (x na druhou)
podle x, což je 2 krát x, tedy krát h s čárkou
v bodě x. Ještě to ujasním. Tohle... To, co teď zvýrazňuji fialově,
se sobě rovná. Jednou je to napsané konkrétně,
podruhé obecně. Tyhle dva výrazy se
sobě také rovnají, jednou je to napsané konkrétně,
jednou obecně. A nakonec i tyto dva výrazy
se sobě rovnají, jen je to jednou napsáno
konkrétně a jednou obecně. Tím máme hotovo, respektive abychom měli hotovo,
musíme tohle už jen zjednodušit. Když změníme pořadí,
ve kterém násobíme, tak dostaneme (2 krát x)
lomeno (x na druhou), takže můžeme krátit. x lomeno x... (2 krát x) lomeno (x na druhou)
je to samé co 2 lomeno x, a to ještě násobíme
celým tímhle výrazem. Zbylo nám tedy
2 lomeno x... Tohle se
pokrátilo. ...(2 lomeno x) krát
kosinus z ln(x na druhou). Vypadalo to sice jako
strašidelná derivace, ale nejdřív nás jen zajímalo, jak vypadá
derivace sinu něčeho podle toho něčeho, což je kosinus
toho něčeho. Pak se posuneme o jednu vrstvu dovnitř
a ptáme se, co je derivace toho něčeho, přičemž naše něco byla
opět složená funkce, takže derivace z ln(x)... Derivace přirozeného logaritmu něčeho
podle toho něčeho je 1 lomeno to něco, takže nám tady vyšlo
1 lomeno (x na druhou), což se nám
později pokrátilo. Nakonec jsme museli spočítat
derivaci funkce nejvíce uvnitř. Je to jak loupat cibuli. Museli jsme zjistit derivaci této
vnitřní funkce podle x, což je 2 krát x. Máme to tady. Tady bylo 1 lomeno (x na druhou) a tady
2 krát x předtím, než jsme pokrátili. Snad v tom teď
máte trochu víc jasno.