Derivace sin(ln(x²))

V tomto videu zkusíme zderivovat sinus z ln(x na druhou). Máme tedy složenou funkci, která je složená z další složené funkce. Můžeme se na to dívat tak, že když se f(x) rovná sin(x), g(x) je přirozený logaritmus z x a h(x) se rovná x na druhou, tak se tohle rovná derivaci podle x z funkce f v bodě (g v bodě h(x)). Chtěl bych teď ukázat, jak bych to dělal ve své hlavě, aniž bych vypisoval celý vzorec pro derivaci složené funkce. Kdybych to dělal v hlavě, tak bych se na to díval tak, že jde o derivaci této vnější funkce f podle celé složené funkce uvnitř. Derivace sin(x) je cos(x), ale místo kosinu v bodě x to bude kosinus toho, co bylo tady uvnitř, tedy kosinus z přirozeného logaritmu... Napíšu to tou stejnou barvou. ...kosinus z ln(x na druhou). x udělám tou samou žlutou barvou. Kosinus a tady bude x na druhou. Na tuhle část, kterou jsem právě napsal, se můžeme dívat jako na f s čárkou v bodě (g v bodě h(x)). Aby v tom bylo jasno, tak jsem zderivoval vnější funkci podle toho, co bylo uvnitř. Nyní musím zderivovat vnitřek podle x, ale to je další složená funkce, takže tohle vynásobíme, opět podle vzorce pro derivaci složené funkce, derivací tohoto přirozeného logaritmu podle (x na druhou). Derivace přirozeného logaritmu z x je 1 lomeno x, ale my zde budeme mít nikoliv 1 lomeno x, ale 1 lomeno (x na druhou). Aby to opět bylo jasné, tak tato část je g s čárkou v... Ne v bodě x, protože kdyby šlo o g(x) s čárkou, tak by tu bylo 1 lomeno x, ale místo x tu máme h(x) neboli x na druhou, takže je to g s čárkou v bodě (x na druhou). Nakonec zderivujeme naši vnitřní funkci... Tohle napíšu jako g s čárkou v bodě h(x). Nakonec zderivujeme funkci nejvíc vevnitř podle x, což je derivace z (2 krát x) podle x... Bude to derivace z (x na druhou) podle x, což je 2 krát x, tedy krát h s čárkou v bodě x. Ještě to ujasním. Tohle... To, co teď zvýrazňuji fialově, se sobě rovná. Jednou je to napsané konkrétně, podruhé obecně. Tyhle dva výrazy se sobě také rovnají, jednou je to napsané konkrétně, jednou obecně. A nakonec i tyto dva výrazy se sobě rovnají, jen je to jednou napsáno konkrétně a jednou obecně. Tím máme hotovo, respektive abychom měli hotovo, musíme tohle už jen zjednodušit. Když změníme pořadí, ve kterém násobíme, tak dostaneme (2 krát x) lomeno (x na druhou), takže můžeme krátit. x lomeno x... (2 krát x) lomeno (x na druhou) je to samé co 2 lomeno x, a to ještě násobíme celým tímhle výrazem. Zbylo nám tedy 2 lomeno x... Tohle se pokrátilo. ...(2 lomeno x) krát kosinus z ln(x na druhou). Vypadalo to sice jako strašidelná derivace, ale nejdřív nás jen zajímalo, jak vypadá derivace sinu něčeho podle toho něčeho, což je kosinus toho něčeho. Pak se posuneme o jednu vrstvu dovnitř a ptáme se, co je derivace toho něčeho, přičemž naše něco byla opět složená funkce, takže derivace z ln(x)... Derivace přirozeného logaritmu něčeho podle toho něčeho je 1 lomeno to něco, takže nám tady vyšlo 1 lomeno (x na druhou), což se nám později pokrátilo. Nakonec jsme museli spočítat derivaci funkce nejvíce uvnitř. Je to jak loupat cibuli. Museli jsme zjistit derivaci této vnitřní funkce podle x, což je 2 krát x. Máme to tady. Tady bylo 1 lomeno (x na druhou) a tady 2 krát x předtím, než jsme pokrátili. Snad v tom teď máte trochu víc jasno.