Derivování funkcí: Nalezení chyby

V tomto videu se budeme věnovat příkladům, které již někdo spočítal. Naším úkolem bude najít v jejich postupu chyby a opravit je. Zde se Nate snaží zderivovat funkci x na druhou plus 5 x krát sinus x. Zde je jeho postup. Je jeho postup správný? Pokud ne, kde je chyba? Zastavte si video a zkuste odpovědět sami. Je Nateův výpočet správný, a pokud ne, kde je chyba? Předpokládám, že jste to zkusili. Projděme si to krok po kroku. Zde pouze připsal diferenciální operátor, což je správně, snažíme se najít derivaci. Dále říká, že tento výraz je součin dvou výrazů, proto je to to samé, jako součin derivací těchto dvou výrazů. A narážíme na problém. Jistě již víte, že když derivujeme f(x) plus g(x), tak se to rovná derivace f(x) plus derivace g(x). Pro součin to ale neplatí. Derivace f(x) krát g(x) nebude součin derivací těchto dvou výrazů, možná pouze v nějakém výjimečném případě. Zde musíme použít vzorec na derivaci součinu. Bude se to rovnat derivaci první funkce krát druhá funkce nezderivovaná a přičteme první funkci nezderivovanou krát derivace druhé funkce. Tímto pravidlem se tedy měl řídit, pojďme ho aplikovat my, abychom zjistili, jak to má správně vypadat. Správný postup napíšu červeně. Toto tedy není správný postup. Vyznačím to tu barevně. Derivace tohoto výrazu je 2x plus 5. Čili začátek měl být 2x plus 5 krát ten druhý výraz, takže krát sin(x). Udělám to jinou barvou, krát sin(x). A potom měl přidat první výraz, což je x na druhou plus 5x krát derivace druhého výrazu. Derivace sin(x) je cos(x). Toto je tedy správný postup, který měl být v druhém kroku. Neměl tento příklad pouze rozdělit na součin derivací dvou výrazů. Měl použít vzorec na derivaci součinu. Jeho postup tedy není správný a chybou je, že tento vzorec nepoužil. Pouze předpokládal, že derivace součinu je to samé jako součin derivací. Zkusme si další příklady. Katy se snaží najít derivaci 2x na druhou minus 4, to celé na třetí. Zde je její postup. Je její postup správný? Pokud ne, kde udělala chybu? Znovu si zastavte video a zkuste na to přijít sami. Pojďme tedy zkontrolovat Katyinu práci. Katy tedy derivuje celý tento výraz a vypadá to, jako že derivuje celý výraz podle tohoto vnitřního výrazu. Což je blízko k pravidlu o složené funkci, ovšem není to jeho správné využití. Její postup není správný, neboť nepoužije správně pravidlo o složené funkci. Pravidlo o složené funkci říká, že derivace funkce f[g(x)] se bude rovnat derivaci celé funkce podle g(x)… Můžeme to zapsat jako f[g(x)] s čárkou. …krát derivace g(x). Zde si můžeme naši funkci představit jako něco, co svůj vnitřek umocňuje na třetí. Tento krok tedy je správně f[g(x)] s čárkou, ale zapomněla ji násobit derivací vnitřní funkce. Musí to tedy vynásobit derivací 2x na druhou minus 4. Což bude, pomocí vzorce na násobení mocnin, 2 krát 2 je 4, takže 4x na první a derivaci −4 je 0. Bude to tedy krát 4x. Tohle bylo potřeba udělat, aby její postup byl správný. Měla tento výraz ještě vynásobit 4x. Její postup nebyl správný. Pravidlo o složené funkci neaplikovala správně. Zkusme si další příklad. Njoman se snaží najít derivaci sin(7x na druhou plus 4x). Zde je jeho postup. Je jeho postup správný? Pokud ne, jakou udělal chybu? Zastavte si video a zkuste na to přijít sami. Jedná se o derivaci sinu této funkce. Zde použijeme pravidlo o složené funkci. Chceme tedy najít derivaci vnější funkce podle vnitřní. Takže derivace sinu něčeho podle toho něčeho je kosinus něčeho. To je tedy správně. Potom je potřeba to vynásobit derivací vnitřní funkce podle x. Derivace 7x na druhou je 14x. Derivace 4x je 4. Tento krok tedy vypadá v pořádku. V dalším ale Njoman udělal něco zvláštního. Toto je cos(7x na druhou plus 4x) Potom to celé krát 14x plus 4. Tady je to ale celé zmatené s těmi závorkami, to se občas stává. Toto je jedna z hlavních chyb, o které nám ve škole říkali. Pokud počítáme s funkcemi jako kosinus, sinus, tangens nebo přirozený logaritmus a je to zapsáno takto se závorkami, lidé si často řeknou, že se závorky pouze vynásobí mezi sebou. To ale není správně. Nemůžeme jednoduše vynásobit 14x plus 4 tímto výrazem a předpokládat, že počítáme s kosinem celého tohoto výrazu. Zde tedy Njoman udělal chybu. Tento krok není správně, protože vynásobí tyto dva výrazy mezi sebou a počítá kosinus tohoto násobku. Zkusme si ještě jeden příklad. Tento je složitější. Tom se snaží najít derivaci funkce odmocnina z x lomeno x na čtvrtou. Zde je jeho postup. Je tento postup správný? Pokud ne, kde je chyba? Zastavte si video a zkuste na to přijít sami. Snaží se zde aplikovat vzorec na derivaci podílu. Vzorec na derivaci podílu využijeme tak, že v čitateli bude derivace prvního výrazu krát druhý výraz, nezderivovaný, a poté minus první výraz nezderivovaný krát derivace druhého výrazu. Lépe by možná bylo derivace čitatele krát jmenovatel, a odečteme čitatel krát derivace jmenovatele. To celé ještě lomeno jmenovatel na druhou. Vypadá to, že postup je správný. Aplikace vzorce na derivaci podílu je správná. Vypadá to, že Tom počítá správně. Derivace x na 0,5 je 0,5x na −0,5. To vypadá správně. Derivace x na čtvrtou je 4x na třetí. To vypadá správně. Celé to vypadá algebraicky správně. Zkusíme to zjednodušit. Máme tu x na −0,5 krát x na čtvrtou, což se bude rovnat x na… Aha, toto odpovídá tomuto výrazu. Vypadá to správně a toto odpovídá tomuto výrazu. To také vypadá správně. Pouze využíváme vlastností exponentů. Po zjednodušení tedy dostaneme −3,5x na −4,5. Vypadá to tedy, že Tom udělal vše správně. Toto je správná odpověď. Jeho postup je správný. Neudělal žádnou chybu. Mám ale malou připomínku. Tom nemusel použít vzorec na derivaci podílu. Dělal všechny tyto složité výpočty, ale mohl si to výrazně zjednodušit. Mohl říct, že toto je to samé, jako derivace x na jednu polovinu. To je totiž odmocnina z x. A to krát x na −4. To je 1 lomeno x na 4. Udělám to barevně. Toto je to samé jako toto. Toto je to samé jako toto. Můžeme to ještě více zjednodušit. Máme zde stejné základy, proto toto je to stejné jako x na −3,5, a můžeme využít vzorec na derivaci mocnin. Teď si to spočítáme, −3,5 dáme před x a mocninu snížíme o jednu. Tady můžete vidět, že mohl odpověď získat mnohem rychleji. Neudělal ovšem žádnou chybu. Udělal pouze menší chybu v úsudku, že aplikoval vzorec o derivaci podílu, i když nebyl potřeba, a proto je výpočet trochu složitější.