Hlavní obsah
Diferenciální počet
Unit 3: Lesson 7
Strategie pro derivování funkcíDerivování funkcí: Nalezení chyby
Analyzování práce studentů derivujících různé funkce a rozhodnutí zda a kde udělali chybu.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu se budeme věnovat
příkladům, které již někdo spočítal. Naším úkolem bude najít v jejich
postupu chyby a opravit je. Zde se Nate snaží zderivovat funkci
x na druhou plus 5 x krát sinus x. Zde je jeho postup. Je jeho postup správný? Pokud ne,
kde je chyba? Zastavte si video
a zkuste odpovědět sami. Je Nateův výpočet správný,
a pokud ne, kde je chyba? Předpokládám,
že jste to zkusili. Projděme si to
krok po kroku. Zde pouze připsal diferenciální operátor,
což je správně, snažíme se najít derivaci. Dále říká, že tento výraz
je součin dvou výrazů, proto je to to samé, jako součin
derivací těchto dvou výrazů. A narážíme na problém. Jistě již víte, že když
derivujeme f(x) plus g(x), tak se to rovná derivace
f(x) plus derivace g(x). Pro součin to ale neplatí. Derivace f(x) krát g(x) nebude
součin derivací těchto dvou výrazů, možná pouze v nějakém
výjimečném případě. Zde musíme použít
vzorec na derivaci součinu. Bude se to rovnat derivaci první funkce
krát druhá funkce nezderivovaná a přičteme první funkci nezderivovanou
krát derivace druhé funkce. Tímto pravidlem se tedy měl řídit,
pojďme ho aplikovat my, abychom zjistili, jak to má správně vypadat. Správný postup napíšu červeně. Toto tedy není správný postup. Vyznačím to tu barevně. Derivace tohoto
výrazu je 2x plus 5. Čili začátek měl být 2x plus 5
krát ten druhý výraz, takže krát sin(x). Udělám to jinou barvou,
krát sin(x). A potom měl
přidat první výraz, což je x na druhou plus 5x
krát derivace druhého výrazu. Derivace sin(x) je cos(x). Toto je tedy správný postup,
který měl být v druhém kroku. Neměl tento příklad pouze rozdělit
na součin derivací dvou výrazů. Měl použít vzorec
na derivaci součinu. Jeho postup tedy není správný
a chybou je, že tento vzorec nepoužil. Pouze předpokládal, že derivace součinu
je to samé jako součin derivací. Zkusme si další příklady. Katy se snaží najít derivaci 2x
na druhou minus 4, to celé na třetí. Zde je její postup. Je její postup správný? Pokud ne, kde
udělala chybu? Znovu si zastavte video
a zkuste na to přijít sami. Pojďme tedy
zkontrolovat Katyinu práci. Katy tedy derivuje
celý tento výraz a vypadá to, jako že derivuje celý
výraz podle tohoto vnitřního výrazu. Což je blízko k pravidlu o složené funkci,
ovšem není to jeho správné využití. Její postup není správný, neboť nepoužije
správně pravidlo o složené funkci. Pravidlo o složené funkci říká, že derivace funkce f[g(x)] se bude
rovnat derivaci celé funkce podle g(x)… Můžeme to zapsat jako
f[g(x)] s čárkou. …krát derivace g(x). Zde si můžeme naši funkci představit jako
něco, co svůj vnitřek umocňuje na třetí. Tento krok tedy je
správně f[g(x)] s čárkou, ale zapomněla ji násobit
derivací vnitřní funkce. Musí to tedy vynásobit
derivací 2x na druhou minus 4. Což bude, pomocí vzorce
na násobení mocnin, 2 krát 2 je 4, takže 4x
na první a derivaci −4 je 0. Bude to tedy krát 4x. Tohle bylo potřeba udělat,
aby její postup byl správný. Měla tento výraz
ještě vynásobit 4x. Její postup nebyl správný. Pravidlo o složené
funkci neaplikovala správně. Zkusme si další příklad. Njoman se snaží najít derivaci
sin(7x na druhou plus 4x). Zde je jeho postup. Je jeho postup správný? Pokud ne, jakou udělal chybu? Zastavte si video
a zkuste na to přijít sami. Jedná se o derivaci
sinu této funkce. Zde použijeme pravidlo
o složené funkci. Chceme tedy najít derivaci
vnější funkce podle vnitřní. Takže derivace sinu něčeho podle
toho něčeho je kosinus něčeho. To je tedy správně. Potom je potřeba to vynásobit
derivací vnitřní funkce podle x. Derivace 7x na druhou je 14x. Derivace 4x je 4. Tento krok tedy
vypadá v pořádku. V dalším ale Njoman
udělal něco zvláštního. Toto je cos(7x na druhou plus 4x) Potom to celé
krát 14x plus 4. Tady je to ale celé zmatené s těmi
závorkami, to se občas stává. Toto je jedna z hlavních chyb,
o které nám ve škole říkali. Pokud počítáme s funkcemi jako kosinus,
sinus, tangens nebo přirozený logaritmus a je to zapsáno
takto se závorkami, lidé si často řeknou, že se závorky
pouze vynásobí mezi sebou. To ale není správně. Nemůžeme jednoduše vynásobit
14x plus 4 tímto výrazem a předpokládat, že počítáme s kosinem
celého tohoto výrazu. Zde tedy Njoman
udělal chybu. Tento krok není správně, protože vynásobí tyto dva výrazy mezi
sebou a počítá kosinus tohoto násobku. Zkusme si ještě jeden příklad. Tento je složitější. Tom se snaží najít derivaci funkce
odmocnina z x lomeno x na čtvrtou. Zde je jeho postup. Je tento postup správný? Pokud ne, kde je chyba? Zastavte si video
a zkuste na to přijít sami. Snaží se zde aplikovat
vzorec na derivaci podílu. Vzorec na derivaci
podílu využijeme tak, že v čitateli bude derivace prvního
výrazu krát druhý výraz, nezderivovaný, a poté minus první výraz nezderivovaný
krát derivace druhého výrazu. Lépe by možná bylo derivace
čitatele krát jmenovatel, a odečteme čitatel krát
derivace jmenovatele. To celé ještě lomeno
jmenovatel na druhou. Vypadá to,
že postup je správný. Aplikace vzorce na
derivaci podílu je správná. Vypadá to, že
Tom počítá správně. Derivace x na 0,5
je 0,5x na −0,5. To vypadá správně. Derivace x na čtvrtou
je 4x na třetí. To vypadá správně. Celé to vypadá
algebraicky správně. Zkusíme to zjednodušit. Máme tu x na −0,5 krát x na čtvrtou,
což se bude rovnat x na… Aha, toto odpovídá
tomuto výrazu. Vypadá to správně a toto
odpovídá tomuto výrazu. To také vypadá správně. Pouze využíváme
vlastností exponentů. Po zjednodušení tedy
dostaneme −3,5x na −4,5. Vypadá to tedy, že
Tom udělal vše správně. Toto je správná odpověď. Jeho postup je správný. Neudělal žádnou chybu. Mám ale malou připomínku. Tom nemusel použít
vzorec na derivaci podílu. Dělal všechny tyto složité výpočty,
ale mohl si to výrazně zjednodušit. Mohl říct, že toto je to samé,
jako derivace x na jednu polovinu. To je totiž odmocnina z x. A to krát x na −4. To je 1 lomeno x na 4. Udělám to barevně. Toto je to samé jako toto. Toto je to samé jako toto. Můžeme to ještě
více zjednodušit. Máme zde stejné základy, proto
toto je to stejné jako x na −3,5, a můžeme využít vzorec
na derivaci mocnin. Teď si to spočítáme, −3,5 dáme před x
a mocninu snížíme o jednu. Tady můžete vidět, že mohl
odpověď získat mnohem rychleji. Neudělal ovšem
žádnou chybu. Udělal pouze menší chybu v úsudku,
že aplikoval vzorec o derivaci podílu, i když nebyl potřeba, a proto
je výpočet trochu složitější.