If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Diferenciální počet

Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3

Lekce 7: Strategie pro derivování funkcí
Matematika
Diferenciální počet
Derivace: složené funkce a další pokročilejší témata
Strategie pro derivování funkcí
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Strategie pro derivování funkcí

Učebna Google
Derivování má mnoho různých pravidel a ještě více způsobů, jak je použít! Pojďme si dostat derivování více pod kůži, abychom derivovali efektivně a bez chyb.
Mnoho studentů sice zná pravidla pro derivování, avšak zápasí s jejich správným použitím v praxi. Pro zmírnění tohoto zápasení se naučíme rozdělit funkce do kategorií podle pravidel pro derivování a přepsat funkce do formy, která nám derivování usnadní.
Pro připomenutí, zde je souhrn nejčastěji používaných pravidel pro derivování.
JménoPravidlo
Derivace mocninné funkcestart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, x, start superscript, n, end superscript, close bracket, equals, n, dot, x, start superscript, n, minus, 1, end superscript
Derivace součtustart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, plus, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, plus, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Derivace součinustart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, plus, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Derivace podílustart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start fraction, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, close bracket, equals, start fraction, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, minus, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, divided by, open bracket, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, squared, end fraction
Derivace složené funkcestart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Budeme se dále zajímat o poslední tři pravidla, jelikož to jsou ta nejproblematičtější.

Zaměřeno na součiny, podíly a složené funkce

Většina pravidel pro derivování nám říká, jak derivovat speciální druh funkcí, jako například derivace sine, left parenthesis, x, right parenthesis, nebo derivace mocninné funkce.
Existují však existují tři velmi důležitá pravidla, která jsou všeobecně použitelná a závisí na struktuře funkce, kterou derivujeme. Jedná se o derivaci součinu, podílu a složené funkce, takže pozor na ně. Položte si otázku: "Vidím v derivované funkci součin, podíl, nebo složenou funkci?"
Derivace součinu: Pokud uvidíš něco jako start color #11accd, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, je třeba si všimnout, že je to součin dvou funkcí. Tedy můžeš aplikovat derivaci součinu.
Derivace podílu: Pokud uvidíš něco jako start fraction, start color #11accd, square root of, x, end square root, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, je třeba si všimnout, že je to podíl dvou funkcí. Tedy můžeš aplikovat derivaci podílu.
Derivace složené funkce: Konečně, pokud uvidíš něco jako left parenthesis, 2, x, squared, minus, 4, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript, je třeba si všimnout vnitřní a vnější funkce:
start color #11accd, start underbrace, left parenthesis, space, start color #ca337c, start overbrace, 2, x, squared, minus, 4, end overbrace, start superscript, start text, v, n, i, t, r, with, \v, on top, n, ı, with, \', on top, end text, end superscript, space, end color #ca337c, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript, end underbrace, start subscript, start text, v, n, e, with, \v, on top, j, s, with, \v, on top, ı, with, \', on top, end text, end subscript, end color #11accd
Tuto skupinu funkcí nazýváme jako složené a můžeš na ně použít pravidlo pro derivaci složené funkce.
Příklad 1
Kuba se snažil najít derivaci left parenthesis, x, squared, plus, 5, x, right parenthesis, dot, sine, left parenthesis, x, right parenthesis. Tady je jeho práce:
=ddx[(x2+5x)⋅sin⁡(x)]=ddx[x2+5x]⋅ddx[sin⁡(x)]=(2x+5)⋅cos⁡(x)=2x⋅cos⁡(x)+5⋅cos⁡(x)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[(x^2+5x)\cdot\sin(x)] \\\\ &=\dfrac{d}{dx}[x^2+5x]\cdot\dfrac{d}{dx}[\sin(x)] \\\\ &=(2x+5)\cdot\cos(x) \\\\ &=2x\cdot\cos(x)+5\cdot\cos(x) \end{aligned}
Počítal Kuba správně? Pokud ne, nalezneš chybu?
Vyber 1 odpověď:

Běžná chyba: zapomenutí použití pravidla o derivaci součinu či podílu

Pamatuj si: Součin derivací není to stejné jako použití pravidla o derivace součinu.
Podobně, podíl dvou derivací není to stejné jako použití pravidla o podílu derivací.
Příklad 2
Leoš se snažil najít derivaci sine, left parenthesis, x, squared, plus, 5, x, right parenthesis. Tady je jeho práce:
=ddx[sin⁡(x2+5x)]=ddx[sin⁡(x)⋅(x2+5x)]=ddx[sin⁡(x)]⋅(x2+5x)+sin⁡(x)⋅ddx[x2+5x]=cos⁡(x)(x2+5x)+sin⁡(x)(2x+5)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2+5x)] \\\\ &=\dfrac{d}{dx}[\sin(x)\cdot(x^2+5x)] \\\\ &=\dfrac{d}{dx}[\sin(x)]\cdot(x^2+5x)+\sin(x)\cdot\dfrac{d}{dx}[x^2+5x] \\\\ &=\cos(x)(x^2+5x)+\sin(x)(2x+5) \end{aligned}
Počítal Leoš správně? Pokud ne, nalezneš chybu?
Vyber 1 odpověď:

Běžná chyba: zaměnění složené funkce za součin funkcí

Jak jsme viděli v příkladu 2, start color #11accd, sine, left parenthesis, start color #ca337c, x, squared, plus, 5, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd je složená funkce, kde vnější funkce je start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd a vnitřní funkce je start color #ca337c, x, squared, plus, 5, end color #ca337c. Však, někteří lidé jsou zmateni notací a považují ji za součin start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, left parenthesis, x, squared, plus, 5, right parenthesis, end color #ca337c. Jedná se o zcela jinou funkci, a tím i derivování dopadne špatně.

Funkce můžeme přepsat do tvaru, ve kterém se snáze derivují.

Všimněme si, že použití pravidla o součinu či podílu nebo pravidla pro derivaci složené funkce je dosti pracné. Speciálně derivace podílu. Avšak často se podstatné části této práce můžeme vyhnout. Následující tři příklady ukazují, že některé součiny a podíly lze přepsat do podoby, jež je pro derivování mnohem příjemnější.
Tvorba výrazů příjemnějších pro derivování ale není záležitostí pohodlí; jednodušší a kratší výraz pro derivování znamená menší šanci pro chybu během derivování!

Součin lze někdy napsat jako polynom.

Mohli bychom aplikovat pravidlo o součinu k derivaci left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, ale to by bylo mnohem více práce, než je zapotřebí. Místo toho můžeme jen roznásobit výraz na x, squared, plus, 2, x, minus, 15, pak aplikovat pravidlo o mocninné funkci a získat derivaci: 2, x, plus, 2.
Zde můžeme nahlédnout na rozdílnou pracnost dvou postupů.
Pravidlo o derivaci součinuPravidlo o derivaci mocninné funkce
=ddx[(x+5)(x−3)]=ddx[x+5]⋅(x−3)+(x+5)⋅ddx[x−3]=(1)(x−3)+(x+5)(1)=x−3+x+5=2x+2\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[(x+5)(x-3)]\\\\&=\dfrac{d}{dx}[x+5]\cdot (x-3)+(x+5)\cdot \dfrac{d}{dx}[x-3]\\\\&=(1)(x-3)+(x+5)(1)\\\\&=x-3+x+5\\\\&=2x+2\end{aligned}=ddx[(x+5)(x−3)]=ddx[x2+2x−15]=2x+2\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[(x+5)(x-3)]\\\\&=\dfrac{d}{dx}[x^2+2x-15]\\\\&=2x+2\end{aligned}
K ujištění: oba postupy jsou správné, avšak použití pravidla o derivaci mocninné funkce ti zde ušetří mnoho času a také zmenší počet kroků, kde můžeš udělat chybu.
Příklad 3
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, minus, 8, x, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 7, right parenthesis
Jak bys přepsal f, left parenthesis, x, right parenthesis , tak aby šlo použít pravidlo o derivaci mocninné funkce?
Vyber 1 odpověď:

Podobně, některé příklady s podílem funkcí lze přepsat na aplikaci pravidla o derivaci mocninné funkce

Můžeme použít pravidlo o derivaci podílu na start fraction, x, start superscript, 6, end superscript, minus, 8, x, cubed, divided by, 2, x, squared, end fraction. Mnohem snazší je ale nejprve zlomek zkrátit na 0, comma, 5, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, a pak použít pravidlo o derivaci mocninné funkce, které nám dá 2, x, cubed, minus, 4.
Pokud budeme postupovat podle pravidla o derivaci podílu, dobereme se také ke stejnému výsledku, jen budeme mít o něco více příležitostí, kde udělat případnou chybu.
Ne každý zlomek však lze přepsat jako polynom. Například start fraction, x, squared, plus, 5, x, minus, 14, divided by, x, minus, 7, end fraction už dále dělit nelze.
Pamatuj si: Tuto metodu lze vždy použít pro ty podíly, v jejichž jmenovateli je jen jeden člen.
Když je ve jmenovateli mnohočlen s více než jedním členem, možná se ti ho podaří zjednodušit tak, že ho rozložíš na součin a následně s něčím pokrátíš.
Příklad 4
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, start superscript, 5, end superscript, minus, 2, x, cubed, minus, 8, x, squared, divided by, x, end fraction
Jak bys přepsal f, left parenthesis, x, right parenthesis , tak aby šlo použít pravidlo o derivaci mocninné funkce?
Vyber 1 odpověď:

Poslední příklad: přepsání podílu jako součin

Pro mnoho lidí je snadnější si zapamatovat pravidlo o derivaci součinu než o derivaci podílu. Naštěstí, vždy lze přepsat podíl na součin následujícím způsobem.
Předpokládejme, že jsme se chtěli derivovat start fraction, square root of, x, plus, 3, end square root, divided by, x, start superscript, 4, end superscript, end fraction, ale nemohli si vzpomenout na pořadí členů v pravidle pro derivaci podílu. Můžeme však přepsat podíl jako součin čitatele s jmenovatelem se záporným exponentem.
x+3x4=x+3⋅1x4=x+3⋅x−4\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{x+3}}{x^4}&=\sqrt{x+3}\cdot \dfrac{1}{x^4} \\\\ &=\sqrt{x+3}\cdot x^{-4} \end{aligned}
Nyní můžeme použít pravidlo o derivaci součinu. (Všimni si: je také třeba použít pravidlo pro derivaci složené funkce pro zacházení s odmocninou.)
Příklad 5
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, 3, x, end fraction
Jak přepíšeš h, left parenthesis, x, right parenthesis, aby šlo použít pravidlo o derivaci součinu?
Vyber 1 odpověď:

Chtěl bys víc cvičení? Zkus zkus toto cvičení.
Obvyklé potíže: Může být trošku obtížnější přepisovat odmocniny a zlomky jako mocninné funkce (například: square root of, x, end square root, equals, x, start superscript, 1, slash, 2, end superscript a start fraction, 1, divided by, x, cubed, end fraction, equals, x, start superscript, minus, 3, end superscript). Pokud bys chtěl více procvičování, koukni se na tato cvičení:

Shrnutí

Schopnost počítat derivace vyžaduje jak znalost pravidel pro derivování, tak znalost, kdy je použít. Také je třeba správně vidět příležitosti, jak si derivování zjednodušit.
Tady je vývojový diagram, který tento proces shrnuje:

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.