Důkaz: Diferencovatelnost implikuje spojitost

V tomto videu bych rád dokázal tvrzení, že pokud je funkce diferencovatelná v bodě c, pak je v tomto bodě i spojitá. Ale před tím, než to uděláme, si připomeňme, co znamená diferencovatelnost a co znamená spojitost. Nejdříve diferencovatelnost. Nejprve se zamyslíme nad ní. Vždycky se hodí si nakreslit nějakou funkci. Tohle je y-ová osa. Tohle je x-ová osa. A nakreslíme si libovolnou funkci. Řekněme, že máme takovou funkci, a zajímá nás bod x rovno c, který je tady. Toto je bod x rovno c a tato hodnota je samozřejmě f(c). Jedním ze způsobů, jak nalézt derivaci pro x rovno c, neboli směrnici tečny v bodě x rovno c, je začít s nějakým jiným bodem. S libovolným x někde tady. Řekněme, že toto je naše libovolné x. Tato y-ová hodnota pak bude f(x). Tento graf je samozřejmě graf y rovná se f(x). Můžeme nalézt směrnici této přímky, tedy sečny procházející těmito dvěma body, a pak najdeme limitu pro x jdoucí k ‚c‘. Jak se x blíží k ‚c‘, tak sečna… Směrnice této sečny se blíží ke směrnici tečny, takže půjde o derivaci. Můžeme tedy spočítat limitu pro x jdoucí k ‚c‘ ze směrnice této sečny. Čemu se směrnice rovná? Rovná se změně y dělené změnou x. Změna y je f(x) minus f(c), jde o tuto vzdálenost. Tohle je jen opakování, jedná se o jednu z definic derivace, o jeden způsob pohledu. Tady tedy bude f(x) minus f(c), což je změna y, lomeno změna x. Změna x je x minus c. Pokud tato limita existuje, tak jsme schopni najít směrnici tečny v tomto bodě, a tuto směrnici tečny nazýváme derivací v bodě x rovno c. Značíme to jako f s čárkou v bodě c. Tohle všechno je jen opakování. Takže když říkáme, že funkce je diferencovatelná v bodě x rovno c, tak vlastně říkáme, že tato limita existuje. A pokud tato limita existuje, tak ji označíme jako f s čárkou v bodě c. Tím jsme si tedy zopakovali diferencovatelnost. Teď si zopakujeme definici spojitosti. Funkce je v bodě c spojitá, když se limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x) rovná f(c). Tohle se někomu může zdát intuitivní, ale taky si možná říkáte, odkud se to vzalo. Nakreslíme si to a snad nám to bude dávat smysl. Když máme funkci… Lepší bude podívat se na případy, kdy funkce není spojitá. Pak to snad bude trochu jasnější. Když máme odstranitelnou nespojitost v bodě x rovná se c… Tohle je bod x rovno c. Když máme odstranitelnou nespojitost... Nakreslím to trochu jinak. Tady v bodě x rovno c bude mezera a f(c) bude až tady nahoře. Tohle je f(c) a pak funkce pokračuje takto. Limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x) je tato hodnota, což zjevně není f(c). Tato hodnota… Když děláme limitu pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x), tak se blížíme k této hodnotě. Tohle je limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x) a ta je různá od f(c). Takže tato definice spojitosti vypadá rozumně, aspoň pro tento případ, protože toto zjevně není spojitá funkce, dochází zde k odstranitelné nespojitosti. Alespoň v tomto případě tedy definice spojitosti správně řekne, že nejde o spojitou funkci. Můžeme se taky zamyslet nad nespojitostí 1. druhu. Podívejme se na ni. Tohle všechno je pro vás snad jen opakování. Nespojitost 1. druhu v bodě x rovno c může vypadat třeba takto. Zde je bod x rovno c. Tohle je f(c). Když ale chceme zjistit, čemu se rovná limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x), dostaneme jinou hodnotu, když se blížíme zleva, dostaneme tuto hodnotu, než když se k ‚c‘ blížíme zprava, protože v tom případě jdeme k f(c). Limita tedy neexistuje. Tato limita tedy v případě nespojitosti 1. druhu neexistuje. Tato definice tak opět správně říká, že tato funkce není spojitá, protože tato limita ani neexistuje. Nyní se můžeme kouknout na funkci, která už skutečně je spojitá. Třeba takováto funkce. Zde je bod x rovno c. Toto je f(c). Když nyní uděláme oboustrannou limitu pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x), vyjde nám hodnota f(c). Limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x) se v tomto případě skutečně rovná f(c), což bychom u spojité funkce čekali. Když jsme si teď zopakovali spojitost a diferencovatelnost, můžeme konečně dokázat, že z diferencovatelnosti plyne spojitost. Naše opakování bylo důležité, protože si to teď lépe představíme. Diferencovatelnost tedy znamená, že tato limita existuje. Začněme ale s trochu jinou limitou. Nakreslím zde čáru. Nakreslím zde čáru, aby bylo jasné, že děláme už něco jiného. Uvažujme limitu pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x) minus f(c). Můžeme toto nějak přepsat? Můžeme to přepsat jako limitu pro x jdoucí k ‚c‘… Tento výraz můžeme vynásobit a vydělit výrazem x minus c, takže to vynásobíme výrazem x minus c a pak to vydělíme výrazem x minus c. Zde tedy bude f(x) minus f(c), to celé lomeno x minus c. Jen jsem vynásobil a vydělil výrazem x minus c. Čemu se rovná tato limita? Toto je rovno limitě… Jen používám vlastnosti limit. Limita součinu je rovna součinu limit. ...limitě pro x jdoucí k ‚c‘ z x minus c krát limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x) minus f(c), to celé lomeno x minus c. Co je tento výraz? Předpokládáme, že f je diferencovatelná v bodě c. Tím jsem měl vlastně začít. Chceme dokázat, že z diferencovatelnosti plyne spojitost, proto předpokládejme, že f je diferencovatelná v bodě c. Tento výraz pak bude roven f s čárkou v bodě c. Před chvílí jsme viděli, že jde úplně o totéž. Tohle je f s čárkou v bodě c. A co je tohle? Limita pro x jdoucí k ‚c‘ z x minus c? To je jednoduše 0. Jak se x blíží k ‚c‘, tak se toto blíží k ‚c‘ minus ‚c‘, což je 0. Kolik je 0 krát f(c) s čárkou? f(c) s čárkou je nějaké reálné číslo a 0 krát číslo je zase 0. Po výpočtu jsem tedy dostal 0. Proč mě to ale zajímalo? Právě jsme zjistili, že když je f diferencovatelná v bodě c a když spočítáme tuto limitu, dostaneme 0. Když tedy předpokládáme, že f je diferencovatelná v bodě c, můžeme napsat, že limita... Jenom to opíšu. ...limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x) minus f(c)... Můžu okolo toho napsat závorky, jako to mám nahoře. ...je rovna 0. To je totéž, když použijeme vlastnosti limit, jako když napíšu, že… Napíšu to sem dolů. ...limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x) minus limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(c) se rovná 0. Limita rozdílu výrazů je totéž jako rozdíl jejich limit. Čemu se rovná tato limita? f(c) je jen nějaké číslo, není to funkce proměnné x, ale je to nějaká hodnota. Takže tato limita je prostě rovna f(c). Limita z f(x) pro x jdoucí k ‚c‘ minus f(c) je tedy rovno 0. Teď jen přičteme f(c) k oběma stranám rovnice a co dostaneme? Dostaneme, že limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x) je rovna f(c). To je přesně definice spojitosti. Limita funkce pro x jdoucí k ‚c‘ je rovna funkční hodnotě v bodě ‚c‘. Toto tedy znamená, že naše funkce je v bodě ‚c‘ spojitá. Jen připomínám, že jsme předpokládali diferencovatelnost funkce f v bodě c, toho jsme pak využili k výpočtu této limity, která nám vyšla jako 0, a když je tato limita rovna 0, tak už z toho plyne, když použijeme algebraické úpravy a vlastnosti limit, že limita pro x jdoucí k ‚c‘ z f(x) je rovna f(c), což je přímo naše definice spojitosti funkce v bodě ‚c‘. Doufám, že to takto stačilo. Pokud víme, že existuje derivace v bodě c, že funkce je v bodě c diferencovatelná, tak to znamená, že funkce je v tomto bodě také spojitá.