Rozpoznávání složených funkcí

V tomto videu si zopakujeme myšlenku složených funkcí a poté si zlepšíme své dovednosti poznávání toho, kdy je funkce složená. Pokud jste o složených funkcích nikdy neslyšeli, nebo pokud vám první minuty tohoto videa budou připadat úplně neznámé, tak doporučuji zhlédnout video z algebry o složených funkcích, které je i na české stránce Khan Academy. Cílem tohoto videa je se trochu procvičit předtím, než se dostaneme k technikám diferenciálního počtu, zejména k pravidlu o derivaci složené funkce. Zopakujme si tedy, co to je složená funkce. Řekněme, že máme funkci f(x) rovná se 1 plus x a funkce g(x) rovná se cos(x). Jak bude vypadat funkce f v bodě g(x)? Zastavte si video a zkuste na to přijít sami. Můžeme se na to dívat třeba tak, že f už není funkce proměnné x, ale proměnné g(x), takže kdekoliv v předpisu funkce f vidíme x, musíme místo toho napsat g(x). Tohle se tedy rovná 1 plus… Místo x sem teď musíme napsat g(x), takže výsledná funkční hodnota bude 1 plus g(x). g(x) je v našem případě cos(x), takže místo g(x) sem můžu napsat cos(x). Můžeme si to lépe představit například tak, že x nejprve dosadím do funkce g, čímž dostanu funkční hodnotu g(x), kterou následně dosadím do funkce f(x), nebo bych spíše měl říct do funkce f. Tuto hodnotu tedy dosadíme do funkce f, čímž dostaneme f v bodě „to, co jsme dosadili“, přičemž my jsme dosadili g(x). Když jsme si to teď zopakovali, zkusme si to také naopak. Vezměme si předpis nějaké funkce a zkusme ho napsat jako složení jiných funkcí. Začněme například s funkcí g(x) rovné kosinus v bodě (sin(x) plus 1). Rád bych ještě zmínil, že častokrát existuje víc než jen jeden způsob, jak funkci napsat jako složení jiných funkcí. Když už tohle víte, zastavte si video a zkuste g(x) vyjádřit jako složení dvou jiných funkcí, které označte třeba f(x) a h(x). Můžete to udělat několika způsoby. Mohli byste si říct, že tady je sin(x), takže to zvolíte jako vaši f(x). Raději použiji jiné písmeno, aby se nám to nepletlo. Označím to jako u(x). Takto si označíme tento sin(x). Nyní z toho máme kosinus v bodě (u(x) plus 1). Když nyní zadefinujeme novou funkci v(x) rovná se kosinus v bodě (x plus 1), tak naše funkce vypadá jako složení funkcí v(x) a u(x). Když místo v(x) napíšeme ‚v‘ v bodě u(x), dostaneme kosinus v bodě (u(x) plus 1). Tak si to napišme. Když napíšeme ‚v‘ v bodě u(x), přičemž u(x) je rovno sin(x), tak se to rovná kosinus v bodě… Místo x plus 1 to bude bod u(x) plus 1, přičemž u(x) se rovná sin(x), tak jsme si to označili. Takže můžeme napsat buď kosinus v bodě (u(x) plus 1), nebo také kosinus v bodě (sin(x) plus 1), což je přesně to, co jsme měli na začátku. Tato funkce g(x)… Když si zadefinujeme u(x) jako sin(x) a v(x) jako kosinus v bodě (x plus 1), tak můžeme g(x) napsat jako složení těchto dvou funkcí. Šlo by to dokonce napsat jako složení tří funkcí. u(x) můžeme nechat jako sin(x) a můžeme zadefinovat w(x) jako x plus 1. Potom bude w(x)… Chtěl jsem říct ‚w‘ v bodě u(x). ‚w‘ v bodě u… To není ta správná barva. w v bodě u(x) se bude rovnat… Teď už nedosazuji x, ale u(x), takže to bude u(x) plus 1, neboli sin(x) plus 1. Nyní si zadefinujeme třetí funkci, řekněme funkci h. Už mi pomalu dochází písmena. Když si h(x) zadefinujeme jako cos(x), potom h v bodě (‚w‘ v bodě u(x)) bude naše g(x). Hned to napíšu. h v bodě (‚w‘ v bodě u(x)) se rovná… h(x) je kosinus toho, co do funkce h dosadíme, takže to bude kosinus… Do funkce dosazujeme ‚w‘ v bodě u(x) a my už jsme zjistili, že ‚w‘ v bodě u(x) se rovná tomuto výrazu, takže sem napíšeme sin(x) plus 1. u(x) se rovná sin(x), to jsme dosadili do funkce w, čímž nám vyšlo sin(x) plus 1, což jsme dosadili do funkce h, čímž jsme dostali kosinus tohoto, což je naše původní funkce. Toto se tedy rovná g(x). Cílem tohoto všeho tedy je, abyste se naučili poznávat složené funkce. Chtěl bych teď zdůraznit, že ne každá funkce je složená. Kdybych měl například funkci… Tohle už můžu dát pryč. Kdybych měl funkci f(x) rovnou cos(x) krát sin(x), tak by ji bylo obtížné vyjádřit jako složení funkcí, ale mohu ji vyjádřit jako součin funkcí. Například bych mohl definovat u(x) jako cos(x) a v(x) jako sin(x). f(x) by pak nebyla složením funkcí u a v, ale jejich součinem. f(x) se rovná u(x) krát v(x). Kdybychom funkce složili, například ‚u‘ v bodě v(x)… Zastavte video a jako opakování zkuste zjistit, čemu se to rovná. Toto se rovná… u(x) je kosinus toho, co do funkce dosadím, a já do ní dosazuji v(x), neboli sin(x). Kdybychom udělali ‚v‘ v bodě u(x), tak by to bylo opačně, byl by to sinus v bodě cos(x). Tenhle příklad jsem udělal, abychom lépe poznali, když se díváme na nějaký výraz nebo předpis funkce, zda jde o součin funkcí, o složení funkcí… Občas to může být součin složených funkcí nebo podíl složených funkcí. Existují různé možnosti, jak funkce zkombinovat a vytvořit tak funkce nové.