Řešený příklad: Derivace ln(√x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce

Máme zde funkci f(x), která je přirozený logaritmus z druhé odmocniny z x a v tomto videu budeme chtít spočítat derivaci f. Hlavní je si uvědomit, že na f se můžeme dívat jako na složení dvou funkcí. Můžeme si to i nakreslit. Když do předpisu funkce f dosadíme x, co uděláme jako první? Nejprve spočítáme jeho odmocninu. Když do předpisu dosadíme nějaké x, tak nejdříve spočítáme jeho odmocninu, čímž dostaneme odmocninu z x. Co uděláme potom? Máme tuto odmocninu a spočítáme její přirozený logaritmus. Můžeme se na to dívat tak, že to dosadíme do jiné funkce, která spočítá přirozený logaritmus toho, co do ní dosadíme. Dělám tady tyhle čtverečky, aby bylo vidět, co kam dosazujeme. Co nám teď vyjde? Vyjde nám přirozený logaritmus z odmocniny z x, což se rovná f(x). Na f(x) se tedy můžeme dívat jako na tento celý soubor, nebo spíše celou kombinaci těchto funkcí. Toto je f(x), která je v zásadě složením dvou funkcí. Nejprve dosadíme do jedné funkce a výsledek pak dosadíme do druhé funkce. Máme zde tedy funkci ‚u‘, která spočítá druhou odmocninu toho, co do ní dosadíme, takže u(x) se rovná odmocnina z x. Výslednou hodnotu této funkce pak dosadíme do další funkce, kterou si označíme ‚v‘. Co dělá funkce ‚v‘? Spočítá přirozený logaritmus toho, co do ní dosadíme. V tomto případě, tedy v případě funkce f, kterou jsem takto nakreslil, ‚v‘ spočítá přirozený logaritmus... Dosazujeme do ní odmocninu z x, takže spočítá přirozený logaritmus odmocniny z x. Kdybychom chtěli napsat ‚v‘ v bodě x, tak to je přirozený logaritmus z x. Vidíme, že f(x)... Už jsem to dopředu barevně označil. f(x) se rovná přirozenému logaritmu z odmocniny z x, což je ‚v‘ v bodě odmocnina z x, tedy ‚v‘ v bodě u(x). Je to tedy složená funkce, což nám napovídá, že když ji chceme zderivovat, pravidlo pro derivaci složené funkce se bude velmi hodit. Pravidlo pro derivaci složené funkce říká, že f s čárkou v bodě x se rovná derivaci vnější funkce podle této vnitřní funkce, což je ‚v‘ s čárkou v bodě u(x), krát derivace této vnitřní funkce podle x, což je ‚u‘ s čárkou v bodě x. Jak tyto věci spočítáme? Víme, jak zderivovat u(x) a v(x). ‚u‘ s čárkou v bodě x se rovná... Druhá odmocnina z x je totéž jako x na jednu polovinu, takže použijeme derivaci mocniny. Jednu polovinu napíšeme dopředu, takže to bude (1 lomeno 2) krát x na... Nyní musíme exponent zmenšit o 1. (1 lomeno 2) minus 1 je minus (1 lomeno 2). Čemu se rovná v(x)? Pardon, čemu se rovná ‚v‘ s čárkou v bodě x? Derivace přirozeného logaritmu z x se rovná 1 lomeno x. Ukázali jsme si to v jiném videu. Nyní už tedy víme, čemu se rovná ‚u‘ s čárkou v bodě x. Víme také, čemu se rovná ‚v‘ s čárkou v bodě x, ale čemu se rovná ‚v‘ s čárkou v bodě u(x)? ‚v‘ s čárkou v bodě u(x)... Kdekoliv vidíme x, musíme místo něj napsat... Napíšu to trochu lépe. Musíme místo něj napsat u(x), takže ‚v‘ s čárkou v bodě u(x) se rovná 1 lomeno u(x), což se rovná 1 lomeno... u(x) je odmocnina z x. ...1 lomeno odmocnina z x. Zjistili jsme tedy, že tohle se rovná 1 lomeno odmocnina z x a že ‚u‘ s čárkou v bodě x je (1 lomeno 2) krát x na minus (1 lomeno 2). x na minus (1 lomeno 2)... Tohle bych mohl přepsat jako (1 lomeno 2) krát 1 lomeno (x na (1 lomeno 2)), což je totéž jako (1 lomeno 2) krát 1 lomeno odmocnina z x, což ještě mohu napsat jako 1 lomeno (2 krát odmocnina z x). Čemu se tohle tedy rovná? To se rovná... Napíšu to zeleně. ‚v‘ s čárkou v bodě x je 1 lomeno odmocnina z x, tohle krát ‚u‘ s čárkou v bodě x, což je 1 lomeno (2 krát odmocnina z x). Čemu se rovná tohle? Rovná se to... Teď už je to algebra. ...1 lomeno... Máme zde 2 a odmocnina z x krát odmocnina z x se rovná x, takže se nám to zjednoduší na 1 lomeno (2 krát x). Snad vám to dává smysl. Schválně jsem to nakreslil, abyste si zlepšili své schopnosti v poznávání složených funkcí a abyste lépe rozuměli některým výrazům ve vzorci pro derivaci složené funkce, které můžete vidět během hodiny diferenciálního počtu nebo v učebnici. S trochou cviku budete ale schopni počítat, aniž byste psali tohle všechno. Řeknete si: „Tohle je složená funkce, je to přirozený logaritmus z odmocniny z x.“ „Je to ‚v‘ v bodě u(x), takže musím zderivovat tuto vnější funkci podle téhle vnitřní funkce.“ „Derivace přirozeného logaritmu z něčeho podle toho něčeho je 1 lomeno to něco.“ Přesně to jsme tady udělali. Můžeme se na to dívat tak... Jaká by byla derivace přirozeného logaritmu z x? Bylo by to 1 lomeno x, ale není to přirozený logaritmus z x, nýbrž z odmocniny z x, takže to bude 1 lomeno odmocnina z x. Zderivujete tedy vnější funkci podle vnitřní funkce a pak vynásobíte derivací vnitřní funkce podle x. A máme hotovo.