Řešený příklad: Derivace cos³(x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce

Řekněme, že máme funkci f(x), která je rovna cos(x) na třetí, a kterou bychom mohli zapsat také takto, (cos x) na třetí. A my chceme zjistit, čemu se bude rovnat derivace této funkce. Chceme tedy zjistit f(x) s čárkou. Jak uvidíme, pomůže nám s tím pravidlo o složené funkci. Já tedy nejprve použiji to pravidlo o složené funkci, a pak si jej probereme podrobněji, abychom chápali spojitost mezi tím, co tady děláme, a tím, co můžete najít ve svých učebnicích, které toto pravidlo vysvětlují. Takže když máme funkci, která je definována jako složená… Všimněte si, že umocňujeme něco na třetí. Neumocňujeme pouze x na třetí. Umocňujeme kosinus x na třetí. Bereme tedy funkci kosinus x a vkládáme ji do další funkce, která ji umocňuje na třetí. Řekněme to tedy takto. Řekněme, že vezmeme x a vložíme jej do jedné funkce, a tou první funkcí je kosinus x. Nejdřív vyhodnotíme kosinus a to nám dá kosinus x. A pak to vložíme do další funkce, která umocňuje věci na třetí. Umocňuje věci na třetí. A co tedy dostaneme? Co umocňujeme na třetí? Umocňujeme kosinus x na třetí. Tohle je složená funkce. Mohli bychom to vnímat jako funkci… Řekněme, že tato modrá bude funkce ‚v‘ a tahle bude funkce ‚u‘. Když vkládáme x do funkce u, tak to je tedy u(x). A když vezmeme u(x) a dáme jej jako argument funkci ‚v‘, tak dostaneme… Bude to ‚v‘ toho, co bylo vloženo, v(u(x)). Nebo to lze také napsat jako… Napíšu to více způsoby. Je to stejné jako v(cos x). Takže cokoliv, co dáme do funkce ‚v‘, to umocní na třetí. Kdybychom měli v(x), bylo by to x na třetí. Pravidlo o složené funkci nám říká… Můžeme jej použít, když derivujeme funkci, kterou můžeme vyjádřit jako složenou funkci v tomto tvaru. Aby to bylo jasné, můžeme napsat, že f(x) se rovná v(u(x)). Vím, že říkám stále to stejné dokola, ale říkám to vždy trochu jinak, protože po prvním pohledu může být složité to pochytit a pořádně pochopit. Takže to zkusím napsat několika způsoby. Pravidlo o složené funkci nám říká, že když máme situaci jako tuto, tak derivace, f'(x)… A tohle je to, co uvidíte ve svých učebnicích. Toto tedy bude derivace toho celého podle u(x), takže to můžeme napsat jako v'(u(x)), Krát derivace ‚u‘ podle x. Krát u'(x). Toto je jeden způsob vyjádření pravidla o složené funkci. Jak to vyhodnotíme v této situaci? Napíšu to podobnými barvami. Takže funkci ‚v‘, vnější funkci, která umocňuje věci na třetí, označím modře. Takže f'(x) další způsob vyjádření, a použiji tady zápis pomocí diferenciálů, můžeme se na to dívat jako na derivaci… Napíšu to několika způsoby. Můžeme se na to dívat jako na derivaci ‚v‘ podle ‚u‘. Použiji správné barvy. Derivace ‚v‘ podle ‚u‘. To je stejné jako tady toto. Krát derivace ‚u‘ podle x. Takže krát derivace ‚u‘ podle x. A jen aby to bylo jasné a abyste znali různé zápisy, které uvidíte v různých učebnicích, toto je toto tady, jen napsáno jiným zápisem, a toto je toto tady. Pojďme si to tedy vypočítat. Už vás pravděpodobně nebaví řešit to jen abstraktně. Takže toto bude rovno… A napíšu to ještě jednou, je to derivace… Místo toho, abych napsal ‚v‘ a ‚u‘, napíšu to takto. Bude to… Pořád používám špatné barvy. Bude to derivace… Nechám si tu trochu místa. Krát derivace něčeho jiného podle něčeho jiného. Takže prvně musíme zderivovat v. ‚v‘ je kosinus x na třetí. To zderivujeme podle u, což je kosinus x, a vynásobíme to derivací ‚u‘., což je kosinus x, podle x. A toto už jsme někdy předtím viděli. Víme, že derivace podle x kosinu x… Použiji stejnou barvu. Derivace kosinu x je rovna zápornému sinu x. Takže toto tady je −sinus x. Asi budete zvyklí spíše na tento zápis operátoru, toto neuvidíte tak často, ale pomáhá to mozku uvědomit si, co tady děláme. Derivujeme kosinus x podle x. To bude −sinus x. A co když derivujeme kosinus x na třetí podle kosinu x? Co to celé znamená? Pokud derivujeme x na třetí, x na třetí podle x, pokud by to bylo takto, tak to bude… Dám sem i závorky, aby to bylo jasnější. Když budu derivovat toto, bude to… Dáme exponent dopředu, to bude 3, 3 krát x na druhou. Takže obecná představa je taková, že pokud derivuji něco, ať už je to něco cokoli… Použiji novou barvu. Budu derivovat oranžový kroužek na třetí podle oranžového kroužku. Bude to 3 krát oranžový, nebo tedy žlutý kroužek. Udělám z toho opravdu oranžový kroužek. Takže derivace oranžového kroužku na třetí podle oranžového kroužku, to bude 3 krát oranžový kroužek na druhou. Pokud tedy derivuji kosinus x na třetí podle kosinu x, tak to bude… 3 krát kosinus x, kosinus x na druhou. Na druhou. Dá se na to dívat tak, že derivuji vnější funkci podle té vnitřní. Dělal bych to stejné, kdybych derivoval x na třetí, ale místo x mám teď kosinus x, takže místo 3x na druhou dostaneme 3 krát (cos x) na druhou. Pravidlo o složené funkci nám pak říká, že pokud chceme dostat derivaci podle x, musíme pak ještě zderivovat kosinus x podle x. Vím, že je toho hromada, ale už se blížíme k cíli. Vypočítali jsme naši derivaci. Bude to toto krát toto. Takže to bude −3 krát sinus x krát kosinus na druhou x. Byl to sice poněkud dlouhý způsob výpočtu, také jsem také vysvětloval pravidlo o složené funkci, ale až získáte praxi, tak si jen řeknete: zderivuji tedy vnější funkci něčeho na třetí podle vnitřku, budu prostě pracovat s tím kosinem x, jako by to bylo x. Pokud to tak udělám, bude to 3 krát kosinus na druhou x, to je tedy tato část a tato část, a pak zderivuji vnitřní funkci podle x. A to je −sinus x.