Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3
Lekce 1: Derivace složené funkce- Derivace složené funkce
- Časté chyby při používání pravidla pro derivaci složené funkce
- Derivace složené funkce
- Rozpoznávání složených funkcí
- Rozpoznání složených funkcí
- Řešený příklad: Derivace cos³(x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace √(3x²-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace ln(√x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Úvod k pravidlu pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Pravidlo pro derivaci složené funkce s tabulkou
- Pravidlo pro derivaci složené funkce s tabulkou
Řešený příklad: Derivace cos³(x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
f(x)=cos³(x) je složena z funkcí x³ a cos(x), a proto můžeme derivovat pomocí pravidla pro derivaci složené funkce.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Řekněme, že máme funkci f(x),
která je rovna cos(x) na třetí, a kterou bychom mohli zapsat
také takto, (cos x) na třetí. A my chceme zjistit, čemu se
bude rovnat derivace této funkce. Chceme tedy zjistit f(x) s čárkou. Jak uvidíme, pomůže nám
s tím pravidlo o složené funkci. Já tedy nejprve použiji to
pravidlo o složené funkci, a pak si jej probereme podrobněji,
abychom chápali spojitost mezi tím, co tady děláme, a tím, co
můžete najít ve svých učebnicích, které toto pravidlo vysvětlují. Takže když máme funkci, která
je definována jako složená… Všimněte si, že
umocňujeme něco na třetí. Neumocňujeme pouze x na třetí.
Umocňujeme kosinus x na třetí. Bereme tedy funkci kosinus x a vkládáme ji do další funkce,
která ji umocňuje na třetí. Řekněme to tedy takto. Řekněme, že vezmeme x
a vložíme jej do jedné funkce, a tou první funkcí
je kosinus x. Nejdřív vyhodnotíme kosinus
a to nám dá kosinus x. A pak to vložíme do další funkce,
která umocňuje věci na třetí. Umocňuje věci na třetí. A co tedy dostaneme? Co umocňujeme na třetí? Umocňujeme
kosinus x na třetí. Tohle je složená funkce. Mohli bychom to
vnímat jako funkci… Řekněme, že tato
modrá bude funkce ‚v‘ a tahle bude funkce ‚u‘. Když vkládáme x do funkce u,
tak to je tedy u(x). A když vezmeme u(x) a dáme
jej jako argument funkci ‚v‘, tak dostaneme… Bude to ‚v‘ toho, co
bylo vloženo, v(u(x)). Nebo to lze
také napsat jako… Napíšu to více způsoby. Je to stejné jako v(cos x). Takže cokoliv, co dáme do
funkce ‚v‘, to umocní na třetí. Kdybychom měli v(x),
bylo by to x na třetí. Pravidlo o složené
funkci nám říká… Můžeme jej použít,
když derivujeme funkci, kterou můžeme vyjádřit jako
složenou funkci v tomto tvaru. Aby to bylo jasné,
můžeme napsat, že f(x) se rovná v(u(x)). Vím, že říkám stále to stejné dokola,
ale říkám to vždy trochu jinak, protože po prvním pohledu může být
složité to pochytit a pořádně pochopit. Takže to zkusím napsat
několika způsoby. Pravidlo o složené funkci nám říká,
že když máme situaci jako tuto, tak derivace, f'(x)… A tohle je to, co uvidíte
ve svých učebnicích. Toto tedy bude derivace
toho celého podle u(x), takže to můžeme
napsat jako v'(u(x)), Krát derivace ‚u‘ podle x. Krát u'(x). Toto je jeden způsob vyjádření
pravidla o složené funkci. Jak to vyhodnotíme v této situaci? Napíšu to podobnými barvami. Takže funkci ‚v‘, vnější funkci, která
umocňuje věci na třetí, označím modře. Takže f'(x) další
způsob vyjádření, a použiji tady zápis
pomocí diferenciálů, můžeme se na to dívat
jako na derivaci… Napíšu to několika způsoby. Můžeme se na to dívat
jako na derivaci ‚v‘ podle ‚u‘. Použiji správné barvy. Derivace ‚v‘ podle ‚u‘. To je stejné jako tady toto. Krát derivace ‚u‘ podle x. Takže krát derivace ‚u‘ podle x. A jen aby to bylo jasné
a abyste znali různé zápisy, které uvidíte v různých
učebnicích, toto je toto tady, jen napsáno jiným zápisem,
a toto je toto tady. Pojďme si to tedy vypočítat. Už vás pravděpodobně nebaví
řešit to jen abstraktně. Takže toto bude rovno… A napíšu to ještě jednou,
je to derivace… Místo toho, abych napsal
‚v‘ a ‚u‘, napíšu to takto. Bude to… Pořád používám špatné barvy. Bude to derivace… Nechám si tu trochu místa. Krát derivace něčeho jiného
podle něčeho jiného. Takže prvně musíme zderivovat v. ‚v‘ je kosinus x na třetí. To zderivujeme podle u,
což je kosinus x, a vynásobíme to derivací ‚u‘.,
což je kosinus x, podle x. A toto už jsme
někdy předtím viděli. Víme, že derivace
podle x kosinu x… Použiji stejnou barvu. Derivace kosinu x
je rovna zápornému sinu x. Takže toto tady je −sinus x. Asi budete zvyklí spíše
na tento zápis operátoru, toto neuvidíte tak často, ale pomáhá to mozku
uvědomit si, co tady děláme. Derivujeme kosinus x podle x. To bude −sinus x. A co když derivujeme
kosinus x na třetí podle kosinu x? Co to celé znamená? Pokud derivujeme x na třetí,
x na třetí podle x, pokud by to bylo takto,
tak to bude… Dám sem i závorky,
aby to bylo jasnější. Když budu derivovat
toto, bude to… Dáme exponent
dopředu, to bude 3, 3 krát x na druhou. Takže obecná představa je taková,
že pokud derivuji něco, ať už je to něco cokoli… Použiji novou barvu. Budu derivovat oranžový kroužek
na třetí podle oranžového kroužku. Bude to 3 krát oranžový,
nebo tedy žlutý kroužek. Udělám z toho opravdu
oranžový kroužek. Takže derivace oranžového kroužku
na třetí podle oranžového kroužku, to bude 3 krát oranžový
kroužek na druhou. Pokud tedy derivuji kosinus
x na třetí podle kosinu x, tak to bude… 3 krát kosinus x,
kosinus x na druhou. Na druhou. Dá se na to dívat tak, že derivuji
vnější funkci podle té vnitřní. Dělal bych to stejné,
kdybych derivoval x na třetí, ale místo x mám
teď kosinus x, takže místo 3x na druhou
dostaneme 3 krát (cos x) na druhou. Pravidlo o složené funkci nám pak říká,
že pokud chceme dostat derivaci podle x, musíme pak ještě zderivovat
kosinus x podle x. Vím, že je toho hromada,
ale už se blížíme k cíli. Vypočítali jsme naši derivaci. Bude to toto krát toto. Takže to bude −3 krát sinus x
krát kosinus na druhou x. Byl to sice poněkud
dlouhý způsob výpočtu, také jsem také vysvětloval
pravidlo o složené funkci, ale až získáte praxi,
tak si jen řeknete: zderivuji tedy vnější funkci
něčeho na třetí podle vnitřku, budu prostě pracovat s tím
kosinem x, jako by to bylo x. Pokud to tak udělám, bude to
3 krát kosinus na druhou x, to je tedy tato část a tato část, a pak zderivuji
vnitřní funkci podle x. A to je −sinus x.