Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3
Lekce 1: Derivace složené funkce- Derivace složené funkce
- Časté chyby při používání pravidla pro derivaci složené funkce
- Derivace složené funkce
- Rozpoznávání složených funkcí
- Rozpoznání složených funkcí
- Řešený příklad: Derivace cos³(x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace √(3x²-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace ln(√x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Úvod k pravidlu pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Pravidlo pro derivaci složené funkce s tabulkou
- Pravidlo pro derivaci složené funkce s tabulkou
Časté chyby při používání pravidla pro derivaci složené funkce
Tři časté chyby při používání pravidla pro derivaci složené funkce (od AP týmu z College Board).
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu se podíváme na
hlavní chyby, které studenti často dělají, Informace o chybách nám
poskytli samotní tvůrci AP zkoušek. Řekněme, že chceme zderivovat
přirozený logaritmus ze sin(x). První zásadní chybou,
kterou mnoho lidí dělá, je to, že když mají transcendentní
funkci jako tato… Transcendentní funkce je jen honosné slovo
pro funkce jako trigonometrické funkce, nebo logaritmické funkce, tedy funkce
nepoužívající běžné algebraické operace. Když máme transcendentní funkce
nebo funkce z nich složené, mnoho lidí si to plete
se součinem funkcí, takže když se na
tohle podívají, řeknou si, že je to totéž jako derivace
podle x ze součinu ln(x) a sin(x). Když to napíšu takhle,
vypadá to velmi podobně, ale tohle je
součin dvou funkcí. Kdybychom si přirozený logaritmus z ‚x‘
označili jako f(x) a sin(x) jako g(x), tak by šlo o součin
sin(x) a g(x)… Pardon, je to součin
funkcí f(x) a g(x). Takže bychom použili
vzorec pro derivaci součinu. Spočítali bychom to pomocí
vzorce pro derivaci součinu. Toto je ale
složená funkce. Máme funkci f v bodě g(x),
ne f(x) krát g(x). Tohle je funkce g(x),
tak jsme si označili sin(x), a f v bodě g(x) je
přirozený logaritmus ze sin(x). Toto je tedy
f v bodě g(x). Samotné f(x) je jen
přirozený logaritmus z ‚x‘, ale f v bodě g(x) je přirozený
logaritmus z naší funkce g(x), tedy přirozený
logaritmus ze sin(x). Tohle je tedy
první zásadní věc. Vždy se ujistěte,
zda je třeba použít… Obzvláště u těchto
transcendentních funkcí. Když máte složenou funkci, musíte provést
derivaci složené funkce, ne součinu. Není to součin. Občas můžete mít součin složených
funkcí, což už je komplikovanější. Pozorně se tedy podívejte,
zda se nejedná o složenou funkcí. Další chybou studentů
je, že i když poznají, že mají použít pravidlo pro derivaci
složené funkce, nepoužijí ho celé. Použijme na to
ten samý příklad. Pravidlo o derivaci složené funkce říká,
že musíme zderivovat vnější funkci, a derivujeme podle
vnitřní funkce. V našem případě se f(x) rovná
přirozenému logaritmu z ‚x‘ a f v bodě g(x)
je tento výraz. Když budu chtít spočítat první část,
tedy f s čárkou v bodě g(x), tak derivace přirozeného
logaritmu z ‚x‘ je 1 lomeno x, ale my nechceme
derivaci v bodě x, chceme derivaci
v bodě g(x), takže místo 1 lomeno x
to bude 1 lomeno g(x), přičemž víme, že
g(x) se rovná sin(x). Jednou z hlavních chyb, o které nám
pracovníci College Board řekli, je to, že mnoho
studentů tady skončí. Udělají pouze tuto první část
a zapomenou vynásobit touto druhou částí. V tuhle chvíli totiž
ještě nemáme hotovo. Tohle ještě musíme vynásobit
derivací g v bodě x. Tak si ji
napišme. Čemu se rovná
g s čárkou v bodě x? Derivace funkce sin(x)
podle x je cos(x). Výsledná derivace v našem
příkladě tak bude… Snad to nějak
vmáčknu sem. Bude to 1 lomeno sin(x),
což je tato první část, krát cos(x). Tak to tam
napišme. Je to 1 lomeno sin(x)… Udělám to tou
druhou barvou. 1 lomeno sin(x)
a tohle krát cos(x). Ještě jednou si to zopakujme,
abyste neudělali jednu z těchto chyb. Barevně to tu ohraničím,
aby to bylo trochu přehlednější. Dejte si pozor, abyste neudělali
jednu z těchto chyb. Musíte poznat, že
jde o složenou funkci. Toto není součin přirozeného
logaritmu z ‚x‘ a sin(x), ale je to přirozený
logaritmus ze sin(x). Když poté používáte vzorec
pro derivaci složené funkce, tedy derivace vnější
funkce podle té vnitřní… Derivace přirozeného
logaritmu z ‚x‘ je 1 lomeno x, takže v bodě g(x)
to bude 1 lomeno sin(x). A tohle krát
derivace vnitřní funkce. Nezapomeňte tedy
na tento krok. Další chybou, kterou
studenti dělají, je to, že místo toho, aby pravidlo pro derivaci
složené funkce použili jako právě teď my, tak zderivují vnější funkci
podle derivace vnitřní funkce. Spočítají tedy f s čárkou
v bodě g(x) s čárkou. V našem případě se f s čárkou
v bodě x rovná 1 lomeno x, ale když to má být v bodě
g(x) s čárkou, tak tu bude cos(x). Mnoho studentů
tedy postupuje takto. Zderivují vnější funkci a dosadí
do toho derivaci vnitřní funkce. Toto není správně. Dejte si pozor,
abyste to neudělali. Vnější funkci musíte zderivovat podle té
vnitřní, ne podle derivace vnitřní funkce, a pak nezapomeňte vynásobit
derivací vnitřní funkce. Snad vám tohle
trochu pomůže. Pokud je pro vás
tohle úplně neznámé, tak se podívejte na videa o derivaci
složených funkcí s řešenými příklady. Tohle je jen
video navrch, abyste nedělali chyby jako použít derivaci
součinu místo derivace složené funkce nebo abyste při derivování složené funkce
nezapomněli násobit derivací funkce g(x) nebo abyste nepoužívali
f s čárkou v bodě g(x) s čárkou. Snad vám
to pomohlo.