Časté chyby při používání pravidla pro derivaci složené funkce

V tomto videu se podíváme na hlavní chyby, které studenti často dělají, Informace o chybách nám poskytli samotní tvůrci AP zkoušek. Řekněme, že chceme zderivovat přirozený logaritmus ze sin(x). První zásadní chybou, kterou mnoho lidí dělá, je to, že když mají transcendentní funkci jako tato… Transcendentní funkce je jen honosné slovo pro funkce jako trigonometrické funkce, nebo logaritmické funkce, tedy funkce nepoužívající běžné algebraické operace. Když máme transcendentní funkce nebo funkce z nich složené, mnoho lidí si to plete se součinem funkcí, takže když se na tohle podívají, řeknou si, že je to totéž jako derivace podle x ze součinu ln(x) a sin(x). Když to napíšu takhle, vypadá to velmi podobně, ale tohle je součin dvou funkcí. Kdybychom si přirozený logaritmus z ‚x‘ označili jako f(x) a sin(x) jako g(x), tak by šlo o součin sin(x) a g(x)… Pardon, je to součin funkcí f(x) a g(x). Takže bychom použili vzorec pro derivaci součinu. Spočítali bychom to pomocí vzorce pro derivaci součinu. Toto je ale složená funkce. Máme funkci f v bodě g(x), ne f(x) krát g(x). Tohle je funkce g(x), tak jsme si označili sin(x), a f v bodě g(x) je přirozený logaritmus ze sin(x). Toto je tedy f v bodě g(x). Samotné f(x) je jen přirozený logaritmus z ‚x‘, ale f v bodě g(x) je přirozený logaritmus z naší funkce g(x), tedy přirozený logaritmus ze sin(x). Tohle je tedy první zásadní věc. Vždy se ujistěte, zda je třeba použít… Obzvláště u těchto transcendentních funkcí. Když máte složenou funkci, musíte provést derivaci složené funkce, ne součinu. Není to součin. Občas můžete mít součin složených funkcí, což už je komplikovanější. Pozorně se tedy podívejte, zda se nejedná o složenou funkcí. Další chybou studentů je, že i když poznají, že mají použít pravidlo pro derivaci složené funkce, nepoužijí ho celé. Použijme na to ten samý příklad. Pravidlo o derivaci složené funkce říká, že musíme zderivovat vnější funkci, a derivujeme podle vnitřní funkce. V našem případě se f(x) rovná přirozenému logaritmu z ‚x‘ a f v bodě g(x) je tento výraz. Když budu chtít spočítat první část, tedy f s čárkou v bodě g(x), tak derivace přirozeného logaritmu z ‚x‘ je 1 lomeno x, ale my nechceme derivaci v bodě x, chceme derivaci v bodě g(x), takže místo 1 lomeno x to bude 1 lomeno g(x), přičemž víme, že g(x) se rovná sin(x). Jednou z hlavních chyb, o které nám pracovníci College Board řekli, je to, že mnoho studentů tady skončí. Udělají pouze tuto první část a zapomenou vynásobit touto druhou částí. V tuhle chvíli totiž ještě nemáme hotovo. Tohle ještě musíme vynásobit derivací g v bodě x. Tak si ji napišme. Čemu se rovná g s čárkou v bodě x? Derivace funkce sin(x) podle x je cos(x). Výsledná derivace v našem příkladě tak bude… Snad to nějak vmáčknu sem. Bude to 1 lomeno sin(x), což je tato první část, krát cos(x). Tak to tam napišme. Je to 1 lomeno sin(x)… Udělám to tou druhou barvou. 1 lomeno sin(x) a tohle krát cos(x). Ještě jednou si to zopakujme, abyste neudělali jednu z těchto chyb. Barevně to tu ohraničím, aby to bylo trochu přehlednější. Dejte si pozor, abyste neudělali jednu z těchto chyb. Musíte poznat, že jde o složenou funkci. Toto není součin přirozeného logaritmu z ‚x‘ a sin(x), ale je to přirozený logaritmus ze sin(x). Když poté používáte vzorec pro derivaci složené funkce, tedy derivace vnější funkce podle té vnitřní… Derivace přirozeného logaritmu z ‚x‘ je 1 lomeno x, takže v bodě g(x) to bude 1 lomeno sin(x). A tohle krát derivace vnitřní funkce. Nezapomeňte tedy na tento krok. Další chybou, kterou studenti dělají, je to, že místo toho, aby pravidlo pro derivaci složené funkce použili jako právě teď my, tak zderivují vnější funkci podle derivace vnitřní funkce. Spočítají tedy f s čárkou v bodě g(x) s čárkou. V našem případě se f s čárkou v bodě x rovná 1 lomeno x, ale když to má být v bodě g(x) s čárkou, tak tu bude cos(x). Mnoho studentů tedy postupuje takto. Zderivují vnější funkci a dosadí do toho derivaci vnitřní funkce. Toto není správně. Dejte si pozor, abyste to neudělali. Vnější funkci musíte zderivovat podle té vnitřní, ne podle derivace vnitřní funkce, a pak nezapomeňte vynásobit derivací vnitřní funkce. Snad vám tohle trochu pomůže. Pokud je pro vás tohle úplně neznámé, tak se podívejte na videa o derivaci složených funkcí s řešenými příklady. Tohle je jen video navrch, abyste nedělali chyby jako použít derivaci součinu místo derivace složené funkce nebo abyste při derivování složené funkce nezapomněli násobit derivací funkce g(x) nebo abyste nepoužívali f s čárkou v bodě g(x) s čárkou. Snad vám to pomohlo.