Derivace složené funkce

V tomto videu se podíváme na jedno ze základních pravidel diferenciálního počtu. Používáme ho, kdykoliv počítáme derivaci něčeho aspoň trochu složitějšího. Jde o derivaci složené funkce. Když toto pravidlo člověk vidí poprvé, může se zdát strašidelné a složité, ale jak uvidíte víc a víc příkladů, tak to začne dávat smysl a snad se pro vás stane i jednodušší a intuitivnější. Vezměme si tedy nějakou funkci. Řekněme, že máme funkci h(x), která se například rovná sin(x) na druhou. Taky bych to mohl napsat jako sinus na druhou v bodě x, ale tento zápis je snáze pochopitelný, takže budeme pracovat s ním. Máme tedy funkci h(x) a chceme vědět, čemu se rovná derivace funkce h. Chceme vědět, čemu se rovná h s čárkou v bodě x, což je jen jiný zápis pro derivaci h podle x. Jsou to jen rozdílné zápisy. Abych tuto derivaci spočítal, použiji pravidlo o derivaci složené funkce. Pravidlo o derivaci složené funkce použijeme tehdy, když je naše funkce složená z více než jedné funkce. Teď vám to možná ještě není jasné, ale na konci tohoto nebo příštího videa už to snad jasné bude. Teď vám položím takovou otázku na zamyšlení. Když se vás zeptám, čemu se rovná derivace podle x… Když použiji operátor derivace podle x na funkci x na druhou, co dostanu? Dostanu 2 krát x, to jsme viděli už mnohokrát. Co kdybych chtěl derivaci podle ‚a‘ z funkce ‚a‘ na druhou? To je vlastně úplně totéž, jen jsem místo x napsal a, takže to bude 2 krát a. Teď udělám něco trochu víc zvláštního. Co kdybych chtěl derivaci podle sin(x) z funkce sin(x) na druhou? Místo x nebo ‚a‘, jako to bylo nahoře, jsem teď napsal sin(x), takže to bude 2 krát to, podle čeho derivuji. Zde je derivace podle x, tady podle ‚a‘ a zde podle sin(x), takže to bude 2 krát sin(x). Pravidlo o derivaci složené funkce říká, že tato derivace se rovná derivaci celé naší funkce podle… Derivaci této vnější funkce, tedy x na druhou, podle sin(x), což je 2 krát sin(x). Můžeme se na to dívat také tak, že jde o derivaci vnější funkce podle té vnitřní. Tedy 2 krát sin(x). Na sin(x) se můžeme dívat, jako by to bylo x, takže by zde bylo 2 krát x, ale je to sin(x), tudíž zde bude 2 krát sin(x). Toto vynásobíme derivací funkce sin(x) podle x. To už je jednodušší a intuitivnější. Už jsme několikrát viděli, že derivace sin(x) podle x je cos(x), takže zde bude krát cos(x). Takto se derivuje složená funkce. Je to derivace vnější funkce podle vnitřní funkce, v našem případě derivace sin(x) na druhou podle sin(x), což je 2 krát sin(x), a tohle vynásobíme derivací sin(x) podle x. Ještě to ujasním. Toto je derivace funkce sin(x) na druhou podle sin(x), kterou pak násobíme derivací sin(x) podle x. Teď už by vám to mohlo začít připadat trochu intuitivní. Tato písmena 'd', ať už je za nimi x, sin(x) nebo něco jiného, nejsou čísla, i když nám tento zápis intuitivně připomíná zlomek. Kdybychom se na to ale dívali jako na zlomky, tak bychom mohli tohle pokrátit… Toto není matematicky precizní, ale pomůže vám to získat intuici. Zůstala by nám derivace sin(x) na druhou podle x. Zůstala by nám derivace naší původní funkce, tedy sin(x) na druhou, podle x, což je přesně dh lomeno dx, protože tohle je naše původní funkce h. Teď vám to možná přijde trochu strašidelné, ale v dalším videu udělám několik podobných příkladů a pak to zkusíme zapsat obecně.