Hlavní obsah
Diferenciální počet
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 3
Lekce 1: Derivace složené funkce- Derivace složené funkce
- Časté chyby při používání pravidla pro derivaci složené funkce
- Derivace složené funkce
- Rozpoznávání složených funkcí
- Rozpoznání složených funkcí
- Řešený příklad: Derivace cos³(x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace √(3x²-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Derivace ln(√x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce
- Úvod k pravidlu pro derivaci složené funkce
- Řešený příklad: Pravidlo pro derivaci složené funkce s tabulkou
- Pravidlo pro derivaci složené funkce s tabulkou
Derivace složené funkce
Pravidlo pro derivaci složené funkce říká, že derivace f(g(x)) je f'(g(x))⋅g'(x). Jinými slovy, pomáhá nám derivovat *složené funkce*. Například sin(x²) je složenou funkcí, jelikož může být zapsána jako f(g(x)), kde f(x)=sin(x) a g(x)=x². Použitím pravidla pro derivaci složené funkce a se znalostí derivace funkcí sin(x) a x² můžeme nalézt derivaci sin(x²). Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu se podíváme na jedno ze
základních pravidel diferenciálního počtu. Používáme ho, kdykoliv počítáme derivaci
něčeho aspoň trochu složitějšího. Jde o derivaci
složené funkce. Když toto pravidlo člověk vidí poprvé,
může se zdát strašidelné a složité, ale jak uvidíte víc
a víc příkladů, tak to začne dávat smysl a snad se pro
vás stane i jednodušší a intuitivnější. Vezměme si tedy
nějakou funkci. Řekněme, že máme funkci h(x), která
se například rovná sin(x) na druhou. Taky bych to mohl napsat jako
sinus na druhou v bodě x, ale tento zápis
je snáze pochopitelný, takže budeme
pracovat s ním. Máme tedy funkci h(x) a chceme vědět,
čemu se rovná derivace funkce h. Chceme vědět, čemu se rovná
h s čárkou v bodě x, což je jen jiný zápis pro
derivaci h podle x. Jsou to jen
rozdílné zápisy. Abych tuto derivaci spočítal, použiji
pravidlo o derivaci složené funkce. Pravidlo o derivaci složené
funkce použijeme tehdy, když je naše funkce složená
z více než jedné funkce. Teď vám to možná
ještě není jasné, ale na konci tohoto nebo
příštího videa už to snad jasné bude. Teď vám položím takovou
otázku na zamyšlení. Když se vás zeptám,
čemu se rovná derivace podle x… Když použiji operátor derivace podle x
na funkci x na druhou, co dostanu? Dostanu 2 krát x,
to jsme viděli už mnohokrát. Co kdybych chtěl derivaci podle
‚a‘ z funkce ‚a‘ na druhou? To je vlastně úplně totéž,
jen jsem místo x napsal a, takže to bude
2 krát a. Teď udělám něco
trochu víc zvláštního. Co kdybych chtěl derivaci podle sin(x)
z funkce sin(x) na druhou? Místo x nebo ‚a‘, jako to bylo nahoře,
jsem teď napsal sin(x), takže to bude 2 krát to,
podle čeho derivuji. Zde je derivace podle x, tady podle ‚a‘ a zde podle sin(x), takže to bude
2 krát sin(x). Pravidlo o derivaci
složené funkce říká, že tato derivace se rovná derivaci
celé naší funkce podle… Derivaci této vnější funkce,
tedy x na druhou, podle sin(x), což je 2 krát sin(x). Můžeme se na to dívat také tak, že jde o
derivaci vnější funkce podle té vnitřní. Tedy 2 krát sin(x). Na sin(x) se můžeme dívat, jako by
to bylo x, takže by zde bylo 2 krát x, ale je to sin(x), tudíž zde
bude 2 krát sin(x). Toto vynásobíme derivací
funkce sin(x) podle x. To už je jednodušší
a intuitivnější. Už jsme několikrát viděli,
že derivace sin(x) podle x je cos(x), takže zde bude
krát cos(x). Takto se derivuje
složená funkce. Je to derivace vnější funkce
podle vnitřní funkce, v našem případě derivace sin(x) na druhou
podle sin(x), což je 2 krát sin(x), a tohle vynásobíme
derivací sin(x) podle x. Ještě to ujasním. Toto je derivace funkce
sin(x) na druhou podle sin(x), kterou pak násobíme
derivací sin(x) podle x. Teď už by vám to mohlo
začít připadat trochu intuitivní. Tato písmena 'd', ať už je za nimi
x, sin(x) nebo něco jiného, nejsou čísla, i když nám tento zápis
intuitivně připomíná zlomek. Kdybychom se na
to ale dívali jako na zlomky, tak bychom mohli
tohle pokrátit… Toto není matematicky precizní,
ale pomůže vám to získat intuici. Zůstala by nám derivace
sin(x) na druhou podle x. Zůstala by nám derivace naší původní
funkce, tedy sin(x) na druhou, podle x, což je přesně
dh lomeno dx, protože tohle je naše
původní funkce h. Teď vám to možná
přijde trochu strašidelné, ale v dalším videu udělám
několik podobných příkladů a pak to zkusíme
zapsat obecně.