Řešený příklad: Derivace √(3x²-x) pomocí pravidla pro derivaci složené funkce

V tomto videu bych rád začal s obecným vzorcem pro derivaci složené funkce a pak se podíváme, jak ho použít na konkrétní příklad. Mějme tedy nějakou funkci nebo výraz, který můžeme vyjádřit jako složení dvou funkcí, tedy jako f v bodě g(x). Máme tedy funkci nebo výraz, který lze vyjádřit jako složení dvou funkcí. Udělám to stejnou barvou, aby to bylo přehledné. Naším cílem je teď tohle zderivovat, tedy spočítat derivaci podle x. Pravidlo o derivaci složené funkce nám říká, že toto se rovná derivaci vnější funkce podle vnitřní funkce, což můžeme napsat jako f s čárkou, ale ne v bodě x, nýbrž v bodě g(x), což je vnitřní funkce. f s čárkou v bodě g(x) krát derivace vnitřní funkce podle x. Tohle možná vypadá hodně abstraktně a formálně, takže jak tenhle vzorec použít? Zkusme si to na nějakém příkladu. Řekněme, že hledáme derivaci druhé odmocniny z (3 krát x na druhou minus x). Jak zadefinovat funkce f a g tak, aby tohle bylo složením f(x) a g(x)? f(x) můžeme zadefinovat jako druhou odmocninu z ‚x‘, a když g(x) zadefinujeme jako 3 krát x na druhou minus x, tak jak bude vypadat f v bodě g(x)? f v bodě g(x) se rovná... Snažím se to psát stále stejnými barvami, snad vám to pomůže tomu lépe porozumět. f v bodě g(x) se rovná... Kdekoliv vidíme x, musíme místo toho napsat g(x), takže to bude druhá odmocnina z g(x), což se rovná druhé odmocnině z... g(x) máme definováno zde. ...z 3 krát x na druhou minus x. Tento výraz je tedy přesně roven f v bodě g(x), pokud si f(x) a g(x) zadefinujeme takto. To bychom měli, nyní použijme vzorec pro derivaci složené funkce. Čemu se rovná f s čárkou v bodě g(x)? Tedy derivace f podle g. Jak vypadá f s čárkou v bodě x? f s čárkou v bodě x se rovná... Tohle je totéž jako x na jednu polovinu, takže použijeme vzorec pro derivaci mocniny. Bude to (1 lomeno 2) krát x na... Exponent musíme zmenšit o 1. (1 lomeno 2) minus 1 je minus (1 lomeno 2). Čemu se tedy rovná f s čárkou v bodě g(x)? Kdekoliv v této derivaci vidíme x, musíme místo toho napsat g(x), takže to bude (1 lomeno 2) krát... Místo x na minus (1 lomeno 2) musíme napsat g(x) na minus (1 lomeno 2), což se rovná... Napíšu to sem. Což se rovná (1 lomeno 2) krát tento výraz umocněný na minus (1 lomeno 2). Tedy 3 krát x na druhou minus x. Teď máme přesně to, co jsme potřebovali znát zde. f s čárkou v bodě g(x) je tohle. Tato část... Vyznačím ji zeleně. To, co jsme tady potřebovali znát, tedy f s čárkou v bodě g(x), se rovná tomuto výrazu. Je to derivace vnější funkce f podle vnitřní funkce. Tak si to sem napišme. Toto se rovná (1 lomeno 2) krát g(x) na minus (1 lomeno 2), tedy krát (3 krát x na druhou minus x). Tyhle dvě věci jsou si pro námi definované funkce f(x) a g(x) rovny. Když se na to podíváme obecně, tak derivace vnější funkce... Derivujeme něco na (1 lomeno 2), takže derivace toho celého podle našeho něčeho bude: (1 lomeno 2) krát to něco na minus (1 lomeno 2). To je v zásadě to, co tu říkáme. Nyní musíme zderivovat naše něco podle x. Toto je derivace našeho něčeho podle x. To už bude přímočařejší. g s čárkou v bodě x... Na oba členy použijeme derivaci mocniny. Je to rovno 6 krát x na prvou, tedy 6 krát x, minus 1. Tato část se tedy rovná 6 krát x minus 1. Aby to bylo jasné, tak tohle se rovná tomuhle. Tím násobíme. A máme hotovo, použili jsme vzorec pro derivaci složené funkce. Ještě jednou zopakuji, že to je derivace vnější funkce podle vnitřní funkce, takže místo (1 lomeno 2) krát x na minus (1 lomeno 2) tady bude: (1 lomeno 2) krát g(x) na minus (1 lomeno 2), a vynásobíme tím derivaci vnitřní funkce podle x, tedy krát derivace g podle x, což je tento výraz.